控制系统的能控性和能观测性

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1、现代控制理论基础第三章控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1>t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。x2不能控二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：设初始时刻为t0=0，对于任意的初始状态x(t0)，有：根据系统能控性定义，令x(tf)=0，得：150现代控制理论基

2、础即：由凯莱-哈密尔顿定理：令上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是QC满秩。判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性矩阵QC=[B，AB，A2B，…An-1B]满秩。对于单输入系统，QC=[b，Ab，A2b，…An-1b]如果系统是完全能控的，称（A、B）或（A、b）为能控对。判据2：对于线性定常系统，若B的秩为r，则系统完全能控的充要条件是：rank[B，AB，A2B，…An-rB]=n150现代控制理论基础例：设试判断系统的能控性解：系统是不完全能控的。若考虑到rankB=2，只需计算rank[B，AB]=2，说明

3、系统不能控。例：图示电路，判断系统能控性条件。解：选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：150现代控制理论基础当（R1R4=R2R3）时，系统能控。否则系统不能控。定理：对线性定常系统作非奇异变换，其能控性不变。证：判据3：线性定常系统（A、B、C），若A的特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则一定可以通过非奇异变换P把A变换成对角阵，即：此时系统能控的条件为中任一行的元素不全为零。如果中某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。证明见何p196{16}150现代控制理论基础例：判断系统的能控性解：系统不能控。判据4：一般情况下，

4、当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，如果对应A的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行对应的阵中，这一行的元素不全为零。（证见何p199）例：判据5：设n维线性定常系统状态方程：当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，若λ1、λ2、…λm为其m个互异特征值，对应与某个特征值λi可以找到r（i）个独立的特征向量，则与λi相对应的约当块Ai中有r（i）个约当块，即：相应地，设：150现代控制理论基础系统能控的充分必要条件是：对每一个i=1、2、…m，矩阵Bil的各行在复数域上线性无关，其中：

5、例：系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21}线性无关（即不为零）。判据6：PBH判别法线性定常系统完全能控的充分必要条件是n×（n+r）矩阵[λI-A，B]对A的所有特征值λi之秩为n。即：rank[λi-A，B]=n，（i=1、2、…n）150现代控制理论基础三：线性时变系统的能控性判据定义：设线性时变系统状态方程为：对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1>t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t0，t1)，使x(t1)=0，则称系统在t0时刻是状态完全能控的，简称系统

6、是能控的。定理一：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵：为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵。证明：充分性：即为非奇异时，系统能控。由于非奇异，令：则：说明系统是能控的。必要性：反证法，若是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。由于是奇异的，故的行向量在[t0,t1]上线性相关，必存在非零的行向量α，使在[t0,t1]区间成立，若选择非零的初始状态x(t0)=αT,则:150现代控制理论基础说明α=0,矛盾。l线性定常系统(A、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是格兰姆矩阵：或为非奇异矩阵。定理二：线性时变系统在t0时

7、刻是状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关，式中为状态转移矩阵。l线性定常系统(A、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关。定理三：如果线性时变系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个有限的t1>t0，使得：则系统在t0是能控的。其中：150现代控制理论基础本定理是充分条件，对于线性定常系统则为充分必要条件。四：线性定常系统的输出能控性设线性定常系统动态方程为：如果存在一个无约束的控制量u(t)，在有限时间tf-t0内，使得由任一初始输出y(t0)，能够转移到任意输出y(tf)

8、，则称这一系统为输出完全能控，简称输出能控。系统输出完全能控的充分必要条件是下列m×(n+1)r矩阵满秩，即