能控性和能观测性分析

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1、第3章能控性和能观性分析状态空间模型建立了输入、状态、输出之间的关系。状态方程反映控制输入对状态的影响；输出方程反映系统输出对控制输入和状态的依赖。能控性揭示系统输入对状态的控制能力；能观性反映系统外部输出对内部状态的观测能力。卡尔曼提出了能控性、能观性概念。3.1系统的能控性3.1.1能控性定义系统模型对系统的一个状态x0，如果存在一个有限时刻T和时间段[0,T]上定义的控制信号u，使得以x0为初始状态的系统，在这样一个控制信号的作用下，有x(T)=0，则称状态x0是能控的。若系统的所有状态都是能控的，则称系统是完全能控的,也简

2、称为能控的。有时也称矩阵对是能控的。3.1.2能控性判据按定义，要求寻找到一个具体的控制律。由可得矩阵指数函数可以表示成有限项的和记则转化成线性方程组的求解问题即定理3.1.1系统完全能控的充分必要条件是（即上述线性方程有唯一解，亦即在[0，T]上存在着控制信号u）式中为能控性检验矩阵。检验是否满秩的方法：计算的行列式例3.1.1检验由以下状态方程描述的系统的能控性：解能控性检验矩阵不是满秩的，故系统不能控。例3.1.2倒立摆系统线性化状态空间模型的系数矩阵是能控性检验矩阵故系统是能控的。例3.1.4考虑能控标准型因为能控性检验矩

3、阵总是非奇异的。故系统是能控的。定理3.1.2系统完全能控的充分必要条件是存在常数T>0，使得n维矩阵是非奇异的。构造控制律故由能控性定义得到系统的能控性。定理的说明1。若系统能控，则对所有时间T，都是非奇异的2。若非奇异，则可以构造出将非零初始状态转移到零状态的控制律3。若系统能控，由（1），可在任意短时间内将非零状态转移到零状态称为能控格拉姆矩阵3.1.3能控性的性质能控性基于状态方程系数矩阵A、B定义。定理3.1.3等价的状态空间模型具有相同的能控性。由T是非奇异矩阵可得结论。定理3.1.4任意单输入能控系统的任意状态空间模

4、型都能等价变换成能控标准型证明以3阶系统为例证明。矩阵A的特征多项式是记由系统能控性推出矩阵T是可逆的，故可见能控矩阵对等价于；而能控标准型也等价于；证明任意能控矩阵对等价于能控标准型！记是能控的，故它可等价变换到，相应的变换矩阵是，即利用前面的变换关系，可得定义，则*将能控对等价变换到能控标准型的步骤总结如下：第1步计算矩阵A的特征多项式：第2步记定义，则例3.1.7考虑由以下状态空间模型描述的连续系统（能控）检验其离散化状态空间模型的能控性。当，其第2行为零，不能控。3.1.4输出能控性控制输入影响输出的能力—输出能控性。若对

5、任意的初始输出y0，存在有限时刻T和在时间段[0,T]上定义的控制信号u，使得在该控制作用下，系统的输出从初始输出y0转移到任意给定的最终输出y(T)，则系统称为是输出完全能控的，简称输出能控。检验条件：矩阵的秩等于该矩阵的行数。例3.1.8判断以下系统的状态和输出能控性系统的状态能控性矩阵由于，故系统不是状态完全能控的。输出能控性矩阵显然它是行满秩的，故输出能控。结论：系统输出能控，但不是状态能控的。3.2系统的能观性所考虑的系统状态变量未必都可以从外部观测到！1。检测手段的限制；2。一些状态变量不是物理量。问题：如何（可否）通

6、过输入输出信息来了解系统内部的状态？已知系统的输出方程，是否可以通过输入输出数据确定状态呢？按状态方程，能观性关键为确定系统的初始状态！左边是已知信号，右边是包含待估计的定义3.2.1若以非零初始状态x0产生的输出响应(零输入响应)恒为零，即对所有的时间t，则称状态x0是不能观的。若系统中没有不能观的状态，则系统称为是状态完全能观的（简称能观），也称矩阵对是能观的。不能观状态的物理意义！例系统的状态是不能观的。系统的输出响应引理3.2.1若x0是系统的不能观状态，则证明根据条件，对时间t连续微分，可得取t＝0即得到结论。定理3.2

7、.1系统能观的充分必要条件是能观性检验矩阵。例检验系统的能观性：因此系统是不能观的。例考虑倒立摆系统，假定只有小车的位移可以测量，由可得系统是能观的。因此，可以通过小车的位移估计小车的速度、摆杆的偏移角和角速度。定义能观格拉姆矩阵：结论：系统能观的充分必要条件是矩阵非奇异定理3.2.2若对某个常数T，矩阵非奇异，则系统的初始状态可用时间段[0,T]上的输出信号确定：由于，故可以用任意短时间内的输出信号来确定状态。3.3能控能观性的对偶原理由于定理3.3.1能控的充分必要条件是能观能观标准型（能控标准型的转置）是能观的对于互为对偶的

8、系统系统（I）能控（能观）的充分必要条件是系统（II）能观（能控）。优点：能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理。例能观与能控标准型互为对偶系统(特征多项式同)3.4基于传递函数的能控能观性条件描述系统内部特性的能控、能观性和传递函数