3.能控性与能观性分析

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1、《现代控制理论》讲义第3章能控性与能观性分析Chapter3能控性与能观性现代控制理论中，用状态空间方法描述系统，将系统的的输出输入关系分成两部分，一部分是系统的控制输入对状态的影响，由状态方程描述；另一部分是系统输出与状态的关系，由输出方程描述。1960年，Kalman根据“控制输入对状态的影响”首先提出了系统状态的能控性问题，根据“输出与状态的关系”提出了系统状态的能观性问题。能控性：输入能否通过“状态方程”引起系统任一状态的变化？能控性描述通过输入对系统状态的控制能力；能观性：系统任一状态的变化能否通过“输出方程”引起输出的变化？

2、或者由输出的变化能否通过“输出方程”确定系统所有状态变量，能观性描述通过输出对系统状态的测辨能力。3.1系统的能控性3.1.1能控性的定义和性质系统能控性定义：在初始时刻时，对系统施加控制使系统状态发生变化，并且输出,，，图3-1能控性与能达性如果在有限时间内存在容许（满足）的控制向量，能使此系统从不为0的初始状态转移到0终态，则称状态在上是能控的，或称在时刻上是能控的。若对系统状态的任一元素均能满足上述条件，则称系统在上是完全能控（简称能控）的。而由0初态，在时间内转移到任意不为0的终态称为能达性；16《现代控制理论》讲义第3章能控性

3、与能观性分析对于线性定常系统，能控必能达，能达必能控，二者等价。（参见图3-1）系统能控性的基本性质：状态方程的解（3-1）根据定义，若状态向量是能控的，则存在容许控制，使由此可反解出与积分变量无关，可以放到积分号下（反演性），（传递性）对线性定常系统，上式可写成（3-2）3.1.2能控性判据将写成有限和形式代入（3-2）式可得若系统能控，上式就有解，所以对任意向量，其充要条件是能控矩阵满秩。（3-3）定理3-1(定理3.1.1)阶线性定常系统完全能控的充要条件是能控矩阵满秩！该定理也适合离散系统。16《现代控制理论》讲义第3章能控性与

4、能观性分析推论：系统是否能控只与输入矩阵有关，而与输出矩阵以及终端时间无关。若系统在区间上是完全能控的，那么系统在区间也一定是完全能控的。即在某一时间段完全能控的系统，在随后的时间段也一定是完全能控的。线性代数中已经证明，，对单输入系统，是方阵，而对多输入系统，才是方阵，所以，一个判断能控矩阵是否满秩的方法是：检验“方阵”或，如果，能控性矩阵满秩，如果行列式，则能控性矩阵不满秩。例3-1(参考例3.1.3，习题1.8)判断二阶水槽系统的能控性。解：由此可见，只有当参数都，以上能控性矩阵才是满秩的。此时系统是完全能控的，即当水位高度偏离平

5、衡位置时，可以通过调节两个阀门调节水位高度回到平衡位置。故系统是能控的，说明水的输入量能够控制两个水槽的水位的变化。因为由图，两个阀门，两个输入。若相当于的同时，对的影响也没有了，所以此时不能控；若，相当于，所以不能控。能控性的直接判别对于某些特例，系统的能控性可直接判别。*定理1若线性定常系统的为对角形，且对角线上的元素（特征值）均不相同，则状态完全能控的充要条件是阵没有全为零的行。，第行全为0，所以，16《现代控制理论》讲义第3章能控性与能观性分析第个状态与所有输入无关，是不能控的，因此系统不完全能控。反过来，如果阵没有一行全为0，

6、比如第行中，元素，则至少有一个分量可以对其控制。*定理2若线性定常系统的为约当形，并且每个约当块所对应的特征值均不相同，则状态完全能控的充要条件是阵中与每个约当块所对应的最后一行中，没有一个最后行全为零。设特征值为，若最后行全为0，则最后一个状态分量就是不能控的，因此系统不完全能控。反过来，若最后一行有某个分量则至少有一个分量可以对其控制。如果是其他行（不是最后一行）全为0，极端情况，控制矩阵只有，其他元素均为0，，，系统仍然是能控的。例3-2(例3.1.4)判断能控标准型是否状态完全能控？16《现代控制理论》讲义第3章能控性与能观性分

7、析解：它是一个三角形矩阵，反对角线上的元素均为1，无论取何值，矩阵行列式都不等于零，因此系统总是状态完全能控的。对给定的状态空间模型，Matlab给出了系统能控性矩阵的函数。因此，对于单输入系统，可根据来判断系统的能控性；对于多（单）输入系统可用来判断系统的能控性。此外，无论单输入还是多输入，都可以直接用秩函数判断。例如，对例3.1.5执行以下m-文件，可得能控性矩阵的秩=2，小于系统的阶数3，故系统是不能控的。；；线性时变系统的能控性判据定理3-2（P74定理3.1.2）线性连续时变系统、在区间内，状态完全能控的充要条件是能控性矩阵为

8、非奇异，即定义Gramian矩阵（3-4）根据能控性定义，令左乘即得：另一方面，（3-4）两边右乘等式左边，右边考虑到与积分变量无关可以放到积分号下，得到关系式16《现代控制理论》讲义第3章能控性与能观性分