矩阵的特征值与特征向量讲解说课材料.ppt

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1、矩阵的特征值与特征向量讲解定义若存在常数及非零向量1.特征值与特征向量定义若※①不同特征向量可属于同一个特征值.②一个特征向量不能对应于不同特征值.③不同特征值对应的特征向量是线性无关的.用数学归纳法证明（见教材）特征值与特征向量间的关系：两式想减得：(1)因为，所以故同一个特征值可以对应着许多不同的特征向量即：一个特征向量不能对应于不同特征值同理可得，所以线性无关2、相关概念称※特征值和特征向量的求法（1）求特征方程＝0的全部根，即得A的全部特征值（2）对于每—个特征值，解它对应的齐次线性方程组的全部非零解。即得关于的全部特征向量．例5.1.3求矩阵的特征值与特征向量.

2、解得特征值当时,解方程由得基础解系全部特征向量为当时,解方程由得基础解系全部特征向量为例5.1.4求矩阵的特征值与特征向量.解得特征值当时,解方程得基础解系全部特征向量为当时,解方程得基础解系全部特征向量为注意在例5.1.4与例5.1..3中,特征方程的重根所对应的线性无关特征向量的个数.定理如果A是n阶矩阵,入是A的m重特征值，则属于入的线性无关的特征向量的个数不超过m个．例5.1.5如果矩阵则称是幂等矩阵.试证幂等矩阵的特征值只能是0或1.证明设两边左乘矩阵,得由此可得因为所以有得若是※由证明过程可得结论,是的特征值,则的特征值.进而是的特征值例5.1.6设n阶方阵A

3、满足（为正交矩阵），则的特征值必为1或-1证明：设为的特征值，且对上式两边左乘再对其两边左乘由此但，则或有关结论：已知　　　　　　为A的一个特征值，则（1）　　　　　必有一个特征值为;（2）　　　　　必有一个特征值为;（3）A可逆时，　必有一个特征值为;（4）A可逆时，　必有一个特征值为.（5）　　则　　必有一个特征值为.有关结论：已知　　　　　　为A的一个特征值，则(6)与A有相同的特征值（因为它们有相同的特征多项式）另一方面，由行列式定义比较上面两个式子可得3.两个有用公式(特征方程根与系数的关系)称为的迹.这里特别地，若A是n阶矩阵，且r(A)=1,则例：设A是三阶

4、矩阵，它的特征值是一1，0，4．又知A十B＝2E，求B的特征值.B的特征值是3，2，一2．1．已知3阶矩阵A的特征值是1，一2，3，则的特征值是——2.设A是3阶可逆矩阵，其逆矩阵的特征值为1/2，1/3，1/4·则行列式＝——·习题＝(一1)(一2)(一3)=一6．44．已知3阶矩阵A的特征值是1，2，一1．设矩阵-2885.D提示：用定义提示1.相似矩阵概念2.相似矩阵基本性质3.方阵的对角化含义4.矩阵可对角化的条件第5.2节相似矩阵和矩阵对角化定义设都是阶方阵,若有可逆矩阵使则称是的相似矩阵,或说相似.称为把变成的相似变换矩阵.※①这时也是的相似矩阵:②相似等价.

5、1.相似矩阵概念如果A与对角阵相似，则称A可对角化基本性质(1)相似矩阵有相同的行列式.(2)相似矩阵有相同的迹.(3)相似矩阵有相同的秩.(4)相似矩阵有相同的特征多项式.(5)相似矩阵有相同的特征值.2.相似矩阵基本性质证明设矩阵A与B相似,即有P-1AP=B(1)(2)显然.(3)(4)由(3)即得.(5)由(4)及迹的定义即得.注意：若（），即是A的属于的特征向量，，由于：从而是的属于的特征向量。由此可见相似矩阵属于同一特征值的特征向量往往是不同的例5.2.1已知与相似,求x,y.解因为相似矩阵有相同的特征值,故与有相同的特征值2,y,-1.根据特征方程根与系数的

6、关系,有而故x=0,y=1.课堂练习定理：设A,B都是n阶方阵，且A与B相似，即，则(1)若A,B均可逆，则(2)（k为正整数）。（3）若是m次多项式，则证明：由知，存在可逆矩阵P，使得(1)（2）即（k为正整数）（3）从而阶方阵定理(充要条件)可对角化有个线性无关的特征向量.所谓方阵可以对角化,是指相似.即存在可逆矩阵使成立.3.矩阵可对角化的条件证明设得到即是的对应于特征值的特征向量.因可逆,故线性无关.设线性无关.记则因线性无关,故可逆,即可对角化.推论(充分条件)若A的n个特征值互不相等,则A与对角阵相似(可对角化).逆不成立,即与对角阵相似的矩阵,特征值不一定

7、互不相等.①如果A有k对应的线性无关的特征向量的个数(几何重数)相等,则A一定可对角化.关的特征向量的个数少于k则A一定不能对角化.②如果A有一个k重特征值,并且所对应的线性无重特征值,只要重数(代数重数)和所推论2注意：从上面定理的证明过程可知：若A能与对角阵相似，则（1）与A相似的对角阵的主对角线上的元素恰好就是A的n个特征值（2）中的各列恰好就是A的属于的特征向量是否可对角化，若可对角化，求可逆阵P．因为A有3个不同的特征值，故可对角化注意：由于齐次线性方程组的基础解系不唯一，则可逆阵P不是唯一的。另外，由于P中的列向量