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《2016兰州石化职业技术学院数学单招试题测试版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、限时：20分钟 满分：28分1．(满分14分)已知f(x)＝2x－x2，g(x)＝logax(a>0且a≠1)．(1)过P(0,2)作曲线y＝f(x)的切线，求切线方程；(2)设h(x)＝f(x)－g(x)在定义域上为减函数，且其导函数y＝h′(x)存在零点，求实数a的值．解：(1)∵f(0)＝0，∴P(0,2)不在曲线y＝f(x)上，设切点为Q(x0，y0)，∵f′(x)＝2－x，∴k＝f′(x0)＝2－x0，且y0＝f(x0)＝2x0－，∴切线方程：y－2x0＋＝(2－x0)(x－x0)，即y＝(2－x0)x＋，∵(0,2)在切线上，
2、代入可得x0＝±2.∴切线方程为y＝2或y＝4x＋2.(2)∵h(x)＝2x－x2－logax在(0，＋∞)递减，∴h′(x)＝2－x－≤0在x>0时恒成立，∵x>0，∴≥2x－x2在x>0时恒成立．∵x>0时，2x－x2∈(－∞，1]，∴≥1，∴00)，圆C2与y轴相切，其圆心是抛物线C1的焦点，
3、点M是抛物线C1的准线与x轴的交点．N是圆C2上的任意一点，且线段
4、MN
5、的长度的最大值为3，直线l过抛物线C1的焦点，与C1交于A，D两点，与C2交于B，C两点．(1)求C1与C2的方程；(2)是否存在直线l，使kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝3，且
6、AB
7、，
8、BC
9、，
10、CD
11、依次成等差数列，若存在，求出所有满足条件的直线l；若不存在，说明理由．解：(1)当点N为圆C2与x轴不是坐标原点的另一交点时，
12、MN
13、的长度最大，为p，∴p＝3⇒p＝2.∴抛物线C1的方程为y2＝4x；圆C2的方程为(x－1)2＋y2＝1.(2)设直线l的方程为m
14、y＝x－1，A(x1，y1)，D(x2，y2)，B(x3，y3)，C(x4，y4)．由⇒y2－4my－4＝0，∴y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，x1x2＝＝1，∴kOA＋kOD＝＋＝＝＝－4m，由解得或.∴B，C，∴kOB＋kOC＝＋＝＝－2m，∵kOA＋kOB＋kOC＋kOD＝3，∴－6m＝3，∴m＝－，此时直线l：－y＝x－1.由得y2＋2y－4＝0，
15、AD
16、＝
17、y1－y2
18、＝6，
19、AB
20、＋
21、CD
22、＝2
23、BC
24、⇔
25、AD
26、＝3
27、BC
28、＝6，∴
29、AB
30、，
31、BC
32、，
33、CD
34、成等差数列，∴存在直线l，它的方程为x＋y－＝0.(二)限时：20
35、分钟 满分：28分1．(满分14分)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点是(1,0)，两个焦点与短轴的一个端点构成等边三角形．(1)求椭圆C的方程；(2)过点P(4,0)且不与坐标轴垂直的直线l交椭圆C于A，B两点，设点A关于x轴的对称点为A1.①求证：直线A1B过x轴上一定点，并求出此定点坐标；②求△OA1B面积的取值范围．解：(1)易得a＝2c，c＝1，则b＝，所以椭圆的标准方程为＋＝1.(2)①证明：不妨设直线方程为l：x＝my＋4，代入＋＝1，得(3m2＋4)y2＋24my＋36＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则
36、有y1＋y2＝，(*)y1y2＝，(**)由A关于x轴的对称点为A1，得A1(x1，－y1)，根据题设条件设定点为Q(t,0)，得kQB＝kQA1，即＝，整理得t＝＝＝4＋，将(*)(**)代入得t＝1，则定点为Q(1,0)．②由①中判别式Δ>0，解得m>2或m<－2，而直线A1B过定点Q(1,0)，所以S△OA1B＝
37、OQ
38、
39、yA1－yB
40、＝
41、y1＋y2
42、 ＝＝.记t＝
43、m
44、，f(t)＝，易得f(t)在(2，＋∞)上为单调递减函数，得S△OA1B∈.2．(满分14分)设函数f(x)＝x2，g(x)＝alnx＋bx(a>0)．(1)若
45、f(1)＝g(1)，f′(1)＝g′(1)，求F(x)＝f(x)－g(x)的极小值；(2)在(1)的条件下，是否存在实常数k和m，使得f(x)≥kx＋m和g(x)≤kx＋m？若存在，求出k和m的值．若不存在，说明理由；(3)设G(x)＝f(x)＋2－g(x)有两个零点x1，x2，且x1，x0，x2成等差数列，试探究G′(x0)值的符号．解：(1)由⇒⇒F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－lnx－x，利用导数的方法求得F(x)的极小值为F(1)＝0.(2)因为f(x)与g(x)有一个公共点(1,1)，而函数f(x)＝x2在点(1,1)的切线
46、方程为y＝2x－1，下面验证：都成立．由于x2－(2x－1)＝(x－1)2≥0，知f(x)≥2x－1恒成立；设h(x)＝g(x)－(2x－1)＝lnx－x＋1，h′(x)＝－1＝，由h′(x)
