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《2016甘肃建筑职业技术学院数学单招试题测试版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2016年甘肃建筑数学单招试题限时：60分钟 满分：78分1．(满分13分)在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，FC⊥平面ABCD，AE⊥BD，CB＝CD＝CF.(1)求证：BD⊥平面AED；(2)求二面角F－BD－C的余弦值．解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠DAB＝60°，所以∠ADC＝∠BCD＝120°.又因为CB＝CD，所以∠CDB＝30°，因此∠ADB＝90°，AD⊥BD，又因为AE⊥BD，且AE∩AD＝A，AE，AD⊂平面AED
2、，所以BD⊥平面AED.(2)法一：连接AC，由(1)知AD⊥BD，所以AC⊥BC.又因为FC⊥平面ABCD，因此CA，CB，CF两两垂直，以C为坐标原点，分别以CA，CB，CF所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设CB＝1，则C(0,0,0)，B(0,1,0)，D，F(0,0,1)，因此＝，＝(0，－1,1)．设平面BDF的法向量为m＝(x，y，z)，则m·＝0，m·＝0，所以x＝y＝z，取z＝1，则m＝(，1,1)．由于＝(0,0,1)是平面BDC的一个法向量，则cos〈m，
3、〉＝＝＝，所以二面角F－BD－C的余弦值为.法二：取BD的中点G，连接CG，FG，由于CB＝CD，因此CG⊥BD，又因为FC⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，所以FC⊥BD.由于FC∩CG＝C，FC，CG⊂平面FCG，所以BD⊥平面FCG，故BD⊥FG，所以∠FGC为二面角F－BD－C的平面角．在等腰三角形BCD中，由于∠BCD＝120°，因此CG＝CB，又因为CB＝CF，所以GF＝＝CG，故cos∠FGC＝，因此二面角F－BD－C的余弦值为.2．(满分13分)(2012·广东高考)如图所示，在四棱锥P－
4、ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE.(1)证明：BD⊥平面PAC；(2)若PA＝1，AD＝2，求二面角B－PC－A的正切值．解：(1)证明：∵PC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴PC⊥BD.又∵PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，∴PA⊥BD，∵PC∩PA＝P，∴BD⊥平面PAC.(2)如右图设AC∩BD＝O，连接OE.∵PC⊥平面BDE，BE⊂平面BDE，OE⊂平面BDE，∴PC⊥BE，PC⊥OE，∴∠BEO为二面角B－PC－A的平面角，∵BD⊥平
5、面PAC，∴BO⊥OE，即∠BOE＝90°，故tan∠BEO＝.又∵BD⊥平面PAC，AC⊂平面PAC，∴BD⊥AC.由四边形ABCD为长方形知它也是正方形，由AD＝2得BD＝AC＝2，在Rt△PAC中，PC＝＝3.∵△OEC∽△PAC，∴＝，即＝＝3，又∵tan∠BEO＝＝＝3，∴二面角B－PC－A的正切值为3.3．(满分13分)(2012·天津高考)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，AC⊥AD，AB⊥BC，∠BAC＝45°，PA＝AD＝2，AC＝1.(1)证明PC⊥AD；(2)求二面角A
6、－PC－D的正弦值；(3)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30°，求AE的长．解：法一：如图，以点A为原点建立空间直角坐标系，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)．(1)易得＝(0,1，－2)，＝(2,0,0)，于是·＝0，所以PC⊥AD.(2)＝(0,1，－2)，＝(2，－1,0)． 设平面PCD的法向量n＝(x，y，z)．则即不妨令z＝1，可得n＝(1,2,1)．可取平面PAC的法向量m＝(1,0,0)．于是cos〈m，n〉＝＝＝，从而s
7、in〈m，n〉＝.所以二面角A－PC－D的正弦值为.(3)设点E的坐标为(0,0，h)，其中h∈[0,2]．由此得＝.由＝(2，－1,0)，故cos〈，〉＝＝＝，所以＝cos30°＝，解得h＝或h＝－(舍)，即AE＝.法二：(1)证明：由PA⊥平面ABCD，可得PA⊥AD，又由AD⊥AC，PA∩AC＝A，故AD⊥平面PAC，又因为PC⊂平面PAC，所以PC⊥AD.(2)如图，作AH⊥PC于点H，连接DH.由PC⊥AD，PC⊥AH，AD∩AH＝A，可得PC⊥平面ADH，又因为DH△平面ADH因此DH⊥PC，从
8、而∠AHD为二面角A－PC－D的平面角．在Rt△PAC中，PA＝2，AC＝1，由此得AH＝.由(1)知AD⊥AH.故在Rt△DAH中，DH＝＝.因此sin∠AHD＝＝.所以二面角A－PC－D的正弦值为.(3)如图，因为AD⊥AC，AD＝2AC所以∠ADC<45°，故过点B作CD的平行线必与线段AD相交，设交点为F，连接BE，EF.故∠EBF或其补角为异面直线BE与CD所成的角．由于BF∥CD，故∠AFB＝∠ADC
