2016内蒙古机电职业技术学院数学单招试题测试版.docx

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1、[时间：45分钟　分值：100分]1．函数f(x)＝lnx－x在区间(0，e]上的最大值为________．2．函数f(x)＝12x－x3在区间[－3,3]上的最小值是________．　3．已知a≤＋lnx对于x∈恒成立，则a的最大值为________．4．用长为18m的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2∶1，则该长方体的最大体积是________m3.5．函数y＝2x3－2x2在区间[－1,2]上的最大值是________．6．函数f(x)＝x2－lnx的最小值为________．7．已知某生产厂家的年利润y

2、(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为________万件．8．若函数f(x)＝(a>0)在[1，＋∞)上的最大值为，则a的值为________．9．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，x∈[－2,2]表示过原点的曲线，且在x＝±1处的切线的倾斜角均为π，则以下命题：①f(x)的解析式为f(x)＝x3－4x，x∈[－2,2]；②f(x)的极值点有且只有一个；③f(x)的最大值与最小值之和等于零．其中正确命题的序号为________．10．已知函数f(

3、x)＝x4－2x3＋3m，x∈R，若f(x)＋9≥0恒成立，则实数m的取值范围是________．11．若函数f(x)＝loga(x3－ax)(a>0，a≠1)在区间内单调递增，则a的取值范围是________．12．设函数f(x)＝ax3－3x＋1(x∈R)，若对于任意的x∈[－1,1]都有f(x)≥0成立，则实数a的值为________．13．(8分)求函数f(x)＝x3＋x2－2x＋在区间[－3,3]上的最大值与最小值．14．(8分)已知函数f(x)的导数f′(x)＝3x2－3ax，f(0)＝b，a，b为实数，1

4、若f(x)在区间[－1,1]上的最小值、最大值分别为－2、1，求a、b的值；(2)在(1)的条件下，求经过点P(2,1)且与曲线f(x)相切的直线l的方程．15．(12分)据环保部门测定，某处的污染指数与附近污染源的强度成正比，与到污染源距离的平方成反比，比例系数为k(k>0)．现已知相距18km的A，B两家化工厂(污染源)的污染强度分别为a，b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC＝x(km)．(1)试将y表示为x的函数；(2)若a＝1，且x＝6时，y取得最小值，试求b的值．16．(12分)已知

5、函数f(x)＝x＋alnx，其中a为常数，且a≤－1.若f(x)≤e－1对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围．参考答案【基础热身】1．－1　[解析]f′(x)＝－1＝，故f(x)在(0,1)上递增，在(1，e]上递减，所以最大值为f(1)＝－1.2．－16　[解析]令f′(x)＝12－3x2＝0，得x＝±2.∵f(2)＝16，f(－3)＝－9，f(－2)＝－16，f(3)＝9，∴f(x)min＝f(－2)＝－16.3．0　[解析]设f(x)＝＋lnx，则f′(x)＝＋＝，当x∈时，f′(x)<0，故函数f(x)在上单调递减

6、；当x∈(1,2]时，f′(x)>0，故函数f(x)在(1,2]上单调递增，∴f(x)min＝f(1)＝0，∴a≤0，即a的最大值为0.4．3　[解析]设长方体的宽为x，则长为2x，高为h＝＝4.5－3x，故长方体的体积为V(x)＝2x2(4.5－3x)＝9x2－6x3.从而V′(x)＝18x－18x2＝18x(1－x)．令V′(x)＝0，解得x＝0(舍去)或x＝1，当0＜x＜1时，V′(x)>0；当1＜x＜时，V′(x)<0，故在x＝1处V(x)取得极大值，并且这个极大值就是V(x)的最大值．从而最大体积V＝V(1)＝9×12－6×

7、13＝3(m3)，此时长方体的长为2m，宽为1m，高为1.5m.【能力提升】5．8　[解析]y′＝6x2－4x，令y′＝0，∴x＝0或x＝.∵f(－1)＝－4，f(0)＝0，f＝－，f(2)＝8，∴最大值为8.6.　[解析]由得x>1；由得00，解得－99，所以函数y＝－x3＋81x－234在区间(0,9)上是增函数，在区间(9，＋∞)上是减函数，所以在x＝9处取极大值，也是最大值．

8、8.－1　[解析]f′(x)＝＝，当x>时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当－0，f(x)单调递增．当>1，即a>1时，f(x)的最大值为f()＝＝，＝<1，矛盾，当≤1，即0