高考数学集合总复习-一元二次不等式及其解法自主梳理.docx

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1、一元二次不等式及其解法自主梳理1．2　2.－　－　R　∅　∅自我检测1．C　2.A　3.A　4.D5．(－∞，－5]解析　记f(x)＝x2＋mx＋4，根据题意得　解得m≤－5.课堂活动区例1　解题导引　解一元二次不等式的一般步骤(1)对不等式变形，使一端为0且二次项系数大于0，即ax2＋bx＋c>0(a>0)，ax2＋bx＋c<0(a>0)．(2)计算相应的判别式．(3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根．(4)根据对应二次函数的图象，写出不等式的解集．解　(1)两边都乘以－3，得3x2－6x＋2<0，因为3>0，且方程

2、3x2－6x＋2＝0的解是x1＝1－，x2＝1＋，所以原不等式的解集是{x

3、1－0，∴2x2＋4x＋3<0的解集为∅.(2)两边都乘以－1，得3x2＋2x－8≥0，因为3>0，且方程3x2＋2x－8＝0的解是x1＝－2，x2＝

4、，所以原不等式的解集是(－∞，－2]∪[，＋∞)．(3)原不等式可转化为16x2－8x＋1≤0，即(4x－1)2≤0，∴原不等式的解集为{}．例2　解题导引　(1)含参数的一元二次不等式，若二次项系数为常数，可先考虑分解因式，再对参数进行讨论；若不易因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．(2)若二次项系数为参数，则应先考虑二次项是否为零，然后再讨论二次项系数不为零时的情形，以便确定解集的形式．(3)其次对方程的根进行讨论，比较大小，以便写出解集．解　上述不等式不一定为一元二次不等式，当a＝0时为一元一次不等式，

5、当a≠0时为一元二次不等式，故应对a进行讨论，然后分情况求解．(1)a＝0时，解为x>0.(2)a>0时，Δ＝4－4a2.①当Δ>0，即0

6、1时，x∈∅.(3)当a<0时，①Δ>0，即－1

7、x<或x>}．②Δ＝0，即a＝－1时，不等式化为(x＋1)2>0，∴解为x∈R且x≠－1.③Δ<0，即a<－1时，x∈R.综上所述，当a≥1时，原不等式的解集为∅；当0

8、为{x

9、

10、x>0}；当－1

11、x<或x>}；当a＝－1时，解集为{x

12、x∈R且x≠－1}；当a<－1时，解集为{x

13、x∈R}．变式迁移2　解　①当a＝0时，解得x>1.②当a>0时，原不等式变形为(x－)(x－1)<0，∴a>1时，解得0，∵<1，∴解不等式可得x<或x>1.综上所述，当a<0时，不等式解集为(－∞，)∪(1，＋∞)；当a＝0时，不等式解集为(1，＋∞

14、)；当01时，不等式解集为(，1)．例3　解题导引　注意等价转化思想的运用，二次不等式在区间上恒成立的问题可转化为二次函数区间最值问题．解　方法一　f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a<－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由

15、2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为－3≤a≤1.方法二　令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或解得－3≤a≤1.变式迁移3　解　(1)∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2>0，∴不等式<2同解于4x＋m<2x2－4x＋6，即2x2－8x＋6－m>0.要使原不等式对任意实数x恒成立，只要2x2－8x＋6－m>0对任意实数x恒成立．∴Δ<0，即64－8(6－m)<0，整理并解得m<－2.∴实数m的取值范围为(－∞，－2

16、)．(2)∵x2＋px>4x＋p－3，∴(x－1)p＋x2－4x＋3>0.令g(p)＝(x－1)p＋x2－4x＋3，则要使它对0≤p≤4均有g(p)>0，只要有.∴x>3或x<－1.∴实数x的取值范围为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．课后练习区1．A　[由已知有(x2－1)≥0，∴　∴∴－≤