高考数学总复习 不等式的解法知识梳理.doc

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1、不等式的解法【考纲要求】1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系，2.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图，3.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法，4.培养数形结合的能力，培养分类讨论的思想方法，培养抽象概括能力和逻辑思维能力。【知识网络】不等式的解法一次、分式、高次、指对等不等式函数不等式解法一元二次不等式解法【考点梳理】要点一、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)的解可以联系二次函数y=ax2+bx+c的图象(a≠0)，图象在x轴上方部分对应的x值为不等式ax2+b

2、x+c>0的解，图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c<0的解.而方程ax2+bx+c=0的根表示图象与x轴交点的横坐标.求解一元二次不等式的步骤，先把二次项系数化为正数，再解对应的一元二次方程，最后根据一元二次方程的根，结合不等号的方向，写出不等式的解集.设相应的一元二次方程的两根为，，则不等式的解的各种情况如下表：二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根无实根R要点诠释：一元二次不等式的步骤：（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数：（2）计算判别式，分析不等式的解的情况：①时，求根（注意灵活运用因式分解和配方法）；②时

3、，求根；③时，方程无解（3）写出解集.要点二、高次不等式的解法【高清课堂：不等式的解法知识要点】高次不等式：形如不等式(x-x1)(x-x2)……(x-xn)>0（其中x1,x2,……,xn是互不相等的实常数）叫做一元n次不等式(n∈N).要点诠释：作出相应函数的图象草图.具体步骤如下：(a)明确标出曲线与x轴的交点，(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方（除此之外，对草图不必做更细致的要求）.然后根据图象草图，写出满足不等式的解集.要点三、无理不等式的解法无理不等式:如果函数f(x)是关于x的无理式，那么f(x)>0或f(x)<0，叫做无理不等式

4、.要点诠释：(1)>(2)>g(x)或或(3)0,a≠1).当01时，f(x)>g(x).(2)m·(ax)2+n·(ax)+k>0.令ax=t(t>0)，转化为mt2+nt+k>0，先求t的取值范围，再确定x的集合.(3)logaf(x)>logag(x)(a>0,a≠1).当01时，(4).令logaf(x)=t(t∈R)，转化为mt2+nt+k>0，先求

5、t的取值范围，再确定x的集合.【典型例题】类型一：一元二次不等式例1.不等式的解集为，求关于的不等式的解集。【解析】由题意可知方程的两根为和由韦达定理有，∴，∴化为，即，解得，故不等式的解集为.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键。举一反三：【变式1】已知的解为,试求、,并解不等式.【解析】由韦达定理有：，，∴,.∴代入不等式得，即，，解得，故不等式的解集为：.【变式2】已知关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集

6、.【解析】由韦达定理有：，解得,代入不等式得，即，解得或.∴的解集为：.例2．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3>0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。【解析】(1)当m2+4m-5=0时，m=1或m=-5若m=1，则不等式化为3>0,对一切实数x成立，符合题意。若m=-5，则不等式为24x+3>0，不满足对一切实数x均成立，所以m=-5舍去。(2)当m2+4m-5≠0即m≠1且m≠-5时，由此一元二次不等式的解集为R知，抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上，且与x轴无交点，所以，即，∴1

7、取值范围是{m

8、1≤m<19}。【总结升华】情况(1)是容易忽略的，所以当我们遇到二次项系数含有字母时，一般需讨论。举一反三：【变式1】若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.【解析】当时，原不等式为：，即，不符合题意，舍去.当时，原不等式为一元二次不等式，只需且，即，解得，综上，的取值范围为：.【变式2】若关于的不等式的解集为非空集，求的取值范围.【解析】当时，原不等式为：，即，符合题意.当时，原不等式为一元二次不等式，显然也符合题意当时，只需，即，解得，综上，的取值范围为：.类型二：高次不等式例3．解不等式：(1)(x