高考数学总复习教程 第18讲 不等式的解法

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1、高考数学总复习教程第18讲不等式的解法一、本讲内容本讲进度整式不等式、分式不等式，无理不等式，指数不等式，对数不等式，简单的三角不等式，绝对值不等式的解法二、学习指导“≥”是不等“＞”与方程“=”的联合体，故相应解集是不等式解集与方程解集的并集。（1）对ax>b形式的不等式，当a>0时解集为当a<0时解集为。当a=0且b<0时解集为R当a=0且b≥0时，解集为；因未限制a的符号，故ax-b不必另行列出。（2）一元二次不等式我们总可化为x2+bx+c>0和x2+bx+c+<0两形式之一

2、，记△=b2-4c。x2+bx+c>0x2+bx+c+<0△<0R△=0{x

3、xR且x}△>0（3）高次不等式，先分解因式，用序根法求出，要特别注意重根的情况的处理。（4）分式不等式，一般先移项，使一边为零，另一边通分后分解因式，类似高次不等式，用序根法求出。（5）无理不等式，要注意两条：一是有意义的范围（偶次方根下设开方数非负）二是式子两边偶次方的前提是两边非负。不能保证两边非负，就要进行讨论。（6）指数、对数不等式，要注意有意义的取值范围（有大于零且不等于1，对数式中真数大于零），还要特别注意底是

4、大于1还是在（0，1）中，它们决定了不等号是否变向。（3）三角不等式，要注意三角函数的单调区间。关于绝对值不等式，应首先理解绝对值（此处是指实数的绝对值）的意义：当a>0时

5、 a

6、=a；当a=0时；当a<0时

7、a

8、=-a。对

9、x

10、0时，-a

11、x

12、>a，当a>0时，x>a或x<-a；当a=0时,x≠0；当a<0时，xR熟悉下面的绝对值不等式，并注意等号成立的条件：；三、典型例题讲解例1：解不等式：按照解分式不等式的程序去解：先移项通分：分解因式：，出现了相同因式；

13、x2怎么办？先单独考虑它：当x=0时，左边为0，满足原式；当x≠0时，x2>0，原式同解于。此时采用序根法式时，要注意两点：（1）由于有等号，故分子相应的根标实点，分母相应的根用空圈，OO-112（2）当x此最大根2大时，左为负值，草图应从右下开始（也可改写为，则从右上开始）。得到例2：解关于x的不等式首先应考虑有意义：a2-2x2≥0，知分界点为0，当a=0时，原不等式即，解集为。当a≠0时，时左边有意义，而右边是否需要平方要看x≥-a是否成立，讨论应围绕-a与间的大小关系进行。1、当a>0时，只要

14、，必有x+a>0，原不等式同解于a2-2x2>x2+2ax+a2，∴。2、当a<)时，只要，右边却为负值，原不等式就成立。x2-x-6>0例3：若不等式组的整数解只有-3，求k的取值范围。2x2+(2k+7)x+7k<0整数解问题是我们不熟悉的，我们按题中条件进行了试探：-3满足第二个不等式，故18-3(2k-7)+7k<0，知k<3又由不等式（1）知不等式（2）的解集为（k,）,故要满足题设，例4：解不等式：首先考虑有意义的x取值范围：解得在边两个区间，分别为负值和正值。据此，在前一个区间，左负右正

15、，原不等式成立。在后一个区间，原不等式即，亦即右为负值无解。∴原不等式解集为例5：，解关于x的不等式：要去掉绝对值符号应围绕ax与1与的大小进行讨论，而这又与有关系，我们可以令t=ax>0，先讨论t与1，的大小关系，解出t的范围，再根据两种情况分别求出x的范围。例6：求证：前一个不等式，我们可以先证明是单调递增的，又

16、a+b

17、≤

18、a

19、+

20、b

21、，，也可用分离常数使分子变为常数，再进行放缩（详见附录）。后一个不等式只要用比差法即可证明。例7：已知x2+y2=1，求证首先，把不等式组按基特点改写，，亦即，使

22、证明两个不等式变成了证明一个不等式，对条件x2+y2=1的利用，可有不同思路。一是三角代换：令，则左=左一是用恒等变形：原式a2(1-x2)+2axy+1-y2≥0a2y2+2axy+x2≥0(ay+x)2≥0，此式当然成立。例8：已知a2x+a2y=2(ax+ay)，求P=ax+ay的取值范围。由已知（ax-1）2+(ay-1)2=2，容易想到三角代换：于是P=ax+ay=2+但这个结果是错误的，错得很明显；ax、ay故为正数。P必为正，不可能取到0。于是有人便据此修改为（0，4），但不能消除人们的

23、疑问：会不会还有别的值取不到？上述解法出了什么毛病？事实上故取值是受限制的：，因而。上述结果用图象也可看出m=ax>0令则（m-1）2+(n-1)2=2在m-0-n平面内的图象为圆在第一象限内的圆弧，n=ay>0]而P=m+n为解平为-1，在n轴上截距为P的直线，P的取值范围为（2，4），（见右图）我们也可用，消元法：a2x+(p-ax)2=2(ax+p-ax)，整理得2a2x-2p.ax+p2-2p=0。记t=ax>0，则上方程中2t2-2pt+p2-