高中排列组合基础题.doc

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1、排列、组合问题基本题型及解法同学们在学习排列、组合的过程中，总觉得抽象，解法灵活，不容易掌握.然而排列、组合问题又是历年高考必考的题目.本文将总结常见的类型及相应的解法.一、相邻问题“捆绑法”将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列.例1甲、乙、丙、丁四人并排站成一排，如果甲、乙必须站在一起，不同的排法共有几种？分析：先把甲、乙当作一个人，相当于三个人全排列，有＝6种，然后再将甲、乙二人全排列有＝2种，所以共有6×2＝12种排法.二、不相邻问题“插空法”该问题可先把无位置要求的元素全排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的空位中（注

2、意两端）.例27个同学并排站成一排，其中只有A、B是女同学，如果要求A、B不相邻，且不站在两端，不同的排法有多少种？.分析：先将其余5个同学先全排列，排列故是＝120.再把A、B插入五个人组成的四个空位（不包括两端）中，（如图0×0×0×0×0“×”表示空位，“0”表示5个同学）有＝2种方法.则共有＝440种排法.三、定位问题“优先法”指定某些元素必须排（或不排）在某位置，可优先排这个元素，后排其他元素.例36个好友其中只有一个女的，为了照像留念，若女的不站在两端，则不同的排法有种.分析：优先排女的（元素优先）.在中间四个位置上选一个，有种排法.然后将其

3、余5个排在余下的5个位置上，有种方法.则共＝480种排法.还可以优先排两端（位置优先）.四、同元问题“隔板法”例410本完全相同的书，分给4个同学，每个同学至少要有一本书，共有多少种分法？分析：在排列成一列的10本书之间，有九个空位插入三块“隔板”.如图：××××××××××一种插法对应于一种分法，则共有＝84种分法.五、先分组后排列对于元素较多，情形较复杂的问题，可根据结果要求，先分为不同类型的几组，然后对每一组分别进行排列，最后求和.例5由数字0，1，2，3，4，5组成无重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有（）（A）210个（B）300个

4、（C）464个（D）600个分析：由题意知，个位数字只能是0，1，2，3，4共5种类型，每一种类型分别有个、个、个、个、个，合计300个，所以选B例6用0，1，2，3，…，9这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数数字与两个偶数数字的五位数有多少个?【解法1】考虑0的特殊要求，如果对0不加限制，应有种，其中0居首位的有种，故符合条件的五位数共有＝11040个.【解法2】按元素分类：奇数字有1，3，5，7，9；偶数字有0，2，4，6，8.把从五个偶数中任取两个的组合分成两类：①不含0的；②含0的.①不含0的：由三个奇数字和两个偶数字组成的五位数有个；②含0的

5、，这时0只能排在除首位以外的四个数位上，有种排法，再选三个奇数数与一个偶数数字全排放在其他数位上，共有种排法.综合①和②，由分类计数原理，符合条件的五位数共有＋＝11040个.例8由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字，比20000大，且百位数字不是3的自然数？U【解】设A＝{满足题设条件，且百位数字是3的自然数}，B＝{满足题设条件，且比20000大的自然数}，则原题即求，画韦恩图如图，阴影部分即，从图中看出.又，由性质2，有即由数字1，2，3，4，5组成无重复数字，且比20000大的自然数的个数，易知.即由数字1，2，3，4，5组成无重复数

6、字、比20000大，且百位数字是3的自然数的个数，易知，所以＝78.即可组成78个符合已知条件的自然数.典型例题例1用0到9这10个数字．可组成多少个没有重复数字的四位偶数？解法1：当个位数上排“0”时，千位，百位，十位上可以从余下的九个数字中任选3个来排列，故有个；当个位上在“2、4、6、8”中任选一个来排，则千位上从余下的八个非零数字中任选一个，百位，十位上再从余下的八个数字中任选两个来排，按乘法原理有（个）．∴没有重复数字的四位偶数有个．例2排一张有5个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单。（1）任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种？（2）歌唱节目与

7、舞蹈节目间隔排列的方法有多少种？解：（1）先排歌唱节目有种，歌唱节目之间以及两端共有6个位子，从中选4个放入舞蹈节目，共有中方法，所以任两个舞蹈节目不相邻排法有：＝43200.（2）先排舞蹈节目有中方法，在舞蹈节目之间以及两端共有5个空位，恰好供5个歌唱节目放入。所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有：＝2880种方法。例3某一天的课程表要排入政治、语文、数学、物理、体育、美术共六节课，如果第一节不排体育，最后一节不排数学，那么共有多少种不同的排课程表的方法．分析与解法1：6六门课总的排法是，其中不符合要求的可分为：体育排在第一书有种排法，如图中Ⅰ；数学

8、排在最后一节有种排法，如图中Ⅱ；但这两种排法，都包括体育排在第一书数学排在最后一