集合与函数复习.doc

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1、§1.1.1集合的含义与表示(一)集合的有关概念1.集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。2.一般地,研究对象统称为元素(element),一些元素组成的总体叫集合(set),也简称集。3.关于集合的元素的特征(1)确定性:设A是一个给定的集合,x是某一个具体对象,则或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。(2)互异性:一个给定集合中的元素,指属于这个集合的互不相同的个体(对象),因此,同一集合中不应重复出现同一元素。(3)集合相等:构成两个集合的元素完全一样4.元素与集合的关

2、系;(1)如果A是集合A的元素,就说A属于(belongto)A,记作A∈A(2)如果A不是集合A的元素,就说A不属于(notbelongto)A,记作AA5.常用数集及其记法非负整数集(或自然数集),记作N正整数集,记作N*或N+;整数集,记作Z有理数集,记作Q实数集,记作R(二)集合的表示方法我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。(1)列举法:把集合中的元素一一列举出来,写在大括号内。(2)描述法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号{}内。具体方法:在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围

3、,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素{(x,y)

4、y=x2+3x+2}与{y

5、y=x2+3x+2}不同,只要不引起误解,集合的代表元素也可省略,例如:{整数},即代表整数集Z。辨析:这里的{}已包含“所有”的意思,所以不必写{全体整数}。下列写法{实数集},{R}也是错误的。说明:列举法与描述法各有优点,应该根据具体问题确定采用哪种表示法,要注意,一般集合中元素较多或有无限个元素时,不宜采用列举法。选择合适的表示法表示下列集合v1、方程的所有实数根组成的集合{}或{},注:{}是错误的!v2、一次函数与二次函数的图像交点组

6、成的集合或者1,所以图像交点组成的集合是{(0,0),(1,1)}v3、不等式2x+1>7的整数解原不等式的整数解为{}v4、平面直角坐标系内第一、三象限的角平分线上的所有点第一、三象限的角平分线即这条直线,所以点的集合为{}了解符号语言与图像语言的关系,如{P

7、

8、PA

9、=

10、PB

11、},{P

12、

13、PA

14、=3}表示的意义§1.1.2集合间的基本关系(一)集合与集合之间的“包含”关系;子集:BA一般的,对于两个集合A、B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A是集合B的子集,记作:读作:A包含于B,或B包含A当集合A不包含于集合B时,记作AB表示:用Ve

15、nn图表示两个集合间的“包含”关系(二)集合与集合之间的“相等”关系,则中的元素是一样的,因此即性质:任何一个集合是它本身的子集化简集合A={x

16、x-3>3},B={x

17、x5},并表示A、B的关系;(三)真子集的概念若集合,存在元素,则称集合A是集合B的真子集记作:AB(或BA)读作:A真包含于B(或B真包含A)例:A={x

18、x=2m+1,m∈Z},B{x

19、x=2n-1,n∈Z},A=B思考:如果上述两个集合中m,n的数域范围是N,那么A与B的关系又是如何?观察A={正方形},A={矩形},A={平行四边形}性质:传递性,且,则子集个数问题:如果一个元素含有n个元素,那么它的子集是个,

20、真子集是-1个,非空真子集是-2个。例:写出集合{a,b}的所有的子集,并指出其中哪些是它的真子集。(四)空集的概念方程x2+1=0在R内无解,也就是说,方程的实数根组成的集合中没有元素。不含有任何元素的集合称为空集,记作:规定:空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集。A对于任何一个给出的集合,都有两个已经确定的子集,对还是错?(五)区分“∈”与“”“a”与“{a}”“0,{0},,{}”0是一个具体的数而不是集合,而{0}表示含有一个元素0的集合,故有0{0},表示空集,不含任何元素,而{}表示以一个空集为元素的集合,故有{}。例:已知非空集合P满足:①P{1,2,3,4,5}

21、,②若a∈P,则6-a∈P,符合上述要求的集合P的个数是7个§1.1.3集合间的基本关系1.并集一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与B的并集。记作:A∪B,读作:“A并B”ABAA∪B={x

22、x∈A,或x∈B}Venn图表示:说明:两个集合求并集,结果还是一个集合,是由集合A与B的所有元素组成的一个新的集合(重复元素只看成一个元素)。说明:连续的(用不等式表示的)实数集合可以用数轴上的一段封闭曲线来表示。问题:在

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