第四章高数ppt课件何满喜44两种基本积分方法.ppt

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1、高等数学由杨艳制作第四章一元积分学4.4两种基本积分法4.4.1换元积分法4.4.2分部积分法4.4.3小结问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令4.4.1换元积分法4.4.1.1不定积分的第一类换元积分法在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理第一类换元公式又俗称凑微分法.说明使用此公式的关键在于将化为定理1（不定积分的第一类换元积分法）设则作变量代换后，有例1求解一般地例2求例3求解（一）解（二）解（三）同一个积分用不同方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但实际上都表示同一族函数.例4.求解:类似例5求解例6求解例7.求解:故原式=例8求解（

2、一）解（二）类似地可推出常用基本积分公式的补充例9求解例10求解凑微分;用倍角公式降幂,再积分.注例11求解例12求解例13求解例14求解注对于或型积分可依次做代换或以方便计算.问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）4.4.1.2不定积分的第二类换元积分法定理2(不定积分的第二类换元积分法)设f(x)连续，是单调的、可导的函数且，若，则例15求令，则，因此解例16求例17求解令例18求解（1）当x>a时，令（2）当x<-a时，令x=-u，则u>a.由（1）知综上可知例19求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的

3、是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令或，根据情况有时需分段讨论积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(2)例20求（三角代换很繁琐）令解说明(3)有理函数中分母的阶较高时,可采用倒代换例21求令解设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数满足条件:则且4.4.1.3定积分的换元积分法定理3（定积分的换元积分法）说明:1)必须注意换元必换限、换限必对应,原函数中的变量不必代回.2)换元公式也可反过来使用,即但此时必须注意配元不换限.或配元例22计算解　设，当x=0时，t=0；当x=a时，因此

4、例23设求.例24证明(1)若f(x)在[-a,a]上连续且为偶函数，则证(2)若f(x)在[-a,a]上连续且为奇函数，则令x=-t，故(1)因为f(x)是偶函数，即f(-x)=f(x)，得(2)因为f(x)是奇函数，即f(-x)=-f(x)，得例25求下列定积分的值“偶倍奇零”的性质可简化奇、偶函数在对称区间上的定积分的计算.例26计算解配元不换限例27计算4.4.2分部积分法4.4.2.1不定积分的分部积分法问题解决思路易算，利用两个函数乘积的分部积分公式求导法则.定理4（不定积分的分部积分法）说明：分部积分法的应用中恰当选取u和v是一v要易求;个关键,选取

5、u和v的一般原则是:(1)(2)比易求.若函数u(x)与v(x)具有连续的导数，则与均存在，且例28求解（一）令显然，u、v选择不当，导致积分更难计算.解（二）令在许多情况下，按照“反对幂三指”的顺序来选择u(x)（即被积函数是两个不同类型型的函数乘积时，在上述排列中次序在前的函数作为u(x)）可以简化积分计算.例29求解令例30求解令例31求解（再次分部积分）例32求解注意循环形式uudvuudv但须注意前后几次所选的u应为同类型函数.例第一次时若选第二次时仍应选积分（）中u、v的选取可随意，定理5（定积分的分部积分公式）若函数u(x)与v(x)在区间[a,b]

6、上具有连续的证:4.4.2.2定积分的分部积分法函数，则例33求解令例34求解设（分部积分）例35求解例36计算解设令直到下标减到0或1为止因此，当n为偶数时当n为奇数时4.4.3小结凑微分三角代换、倒代换、根式代换3.基本积分公式表1.换元积分法2.分部积分法注意定积分计算中换元必换限、配元不换限、边积边代限.“反对幂三指”