两种基本积分法ppt课件.ppt

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1、二、分部积分法第三节一、换元积分法两种基本积分法第三章第二类换元法基本思路第一类换元法设可导,则有第一类换元法1.不定积分的换元法则(I)定理3.1(也称配元法,凑微分法)即设是连续函数，值域含于f的定义域，则有连续的导数，且例1.求解:令则故原式=注:当时注意换回原变量例2.求解:令则想到公式例3.求想到解:(直接配元)例4.求解:类似例5.求解:∴原式=例6.求解:原式=例7.求解:例8.求解:原式=例9.求解:原式=例10求解法1解法2两法结果一样例11.求解法1解法2同样可证或例12.求解:原式=例13.求

2、解:例14.求解:∴原式=例15.求解:原式=分析:例16.求解:原式常用的几种配元形式:万能凑幂法小结常用简化技巧:(1)分项积分:(2)降低幂次:(3)统一函数:利用三角公式;配元方法(4)巧妙换元或配元万能凑幂法利用积化和差;分式分项;利用倍角公式,如思考与练习1.下列各题求积方法有何不同?2.求提示:法1法2法3作业不定积分的换元法则II第一类换元法解决的问题难求易求若所求积分易求,则得第二类换元积分法.难求，定理3.2设是连续函数,有连续的导数，且证:则定号,则由于定号，故存在反函数，例1.求解:令则∴原

3、式例2.求解:令则∴原式例3.求解:令则∴原式令于是说明:1.被积函数含有除采用三角采用双曲代换消去根式,所得结果一致.或代换外,还可利用公式2.两个常用双曲函数积分公式例4.求解:令则原式例5.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数2,3的最小公倍数6,则有原式令原式例6.求解:令则原式当x<0时,类似可得同样结果.小结:1.第二类换元法常见类型:令令令或令或令或2.常用基本积分公式的补充7)分母中因子次数较高时,可试用倒代换令设表示三角函数有理式,令万能代换t的有理函数的积分三角函数有理式的积分则例7.求解

4、:令则3.定积分的换元法定理3.3设函数单值函数满足:1)2)在上证:所证等式两边被积函数都连续,因此积分都存在,且它们的原函数也存在.是的原函数,因此有则则说明:1)当<,即区间换为定理1仍成立.2)必须注意换元必换限,原函数中的变量不必代回.3)换元公式也可反过来使用,即或配元配元不换限例1.计算解:令则∴原式=且例2计算解例3.证:(1)若(2)若偶倍奇零证（1）设（2）设