《基本积分法》PPT课件(I)

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1、§5.2基本积分法一、第一类换元法（凑微分法）二、第二类换元法（变量代换法）三、分部积分法问题解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元法（凑微分法）在一般情况下：设则如果（可微）由此可得换元法定理第一类换元公式（凑微分法）说明使用此公式的关键在于将化为观察重点不同，所得结论不同.定理1例1求解（一）解（二）解（三）例2求解一般地例3求解例4求解例5求解例6求解例7求解例8求解例9求原式例10求解例11求解说明当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇次项去凑微分.例12求解例13求解（一）（使用了三角函数恒等变形）解（二）类似地可推出解（三）类似地可推出解

2、例14设求.令例15求解问题解决方法改变中间变量的设置方法.过程令（应用“凑微分”即可求出结果）二、第二类换元法（变量代换法）证设为的原函数,令则则有换元公式定理2第二类积分换元公式例16求解令例17求解令例18求解令说明(1)以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令说明(2)积分中为了化掉根式除采用三角代换外还可用双曲代换.也可以化掉根式例积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.说明(3)例19求（三角代换很繁琐）令解例20求解令说明(4)当分母的阶较高

3、时,可采用倒代换例21求令解例22求解令（分母的阶较高）说明(5)当被积函数含有两种或两种以上的根式时，可采用令（其中为各根指数的最小公倍数）例23求解令基本积分表(补充)小结两类积分换元法：（一）凑微分（二）三角代换、倒代换、根式代换基本积分表(2)思考题求积分思考题解答练习题练习题答案问题解决思路利用两个函数乘积的求导法则.分部积分公式三、分部积分法例1求积分解（一）令显然，选择不当，积分更难进行.解（二）令例2求积分解（再次使用分部积分法）总结若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)例3

4、求积分解令例4求积分解总结若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为.以下不同类型函数乘积的积分可用分部积分求出：例5求积分解典型技巧：1.还原法例6求积分解注意循环形式有时候使用若干次分部积分可导出所求积分的方程式，然后解此方程求出积分。例5求解2.递推公式:例7求积分解3.多种积分方法结合使用令解两边同时对求导,得合理选择，正确使用分部积分公式小结思考题在接连几次应用分部积分公式时，应注意什么？思考题解答注意前后几次所选的应为同类型函数.例第一次时若选第二次时仍应选练习题练习题答案