线性代数教程第一章行列式ppt课件.ppt

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1、第1章行列式§1.1行列式的定义§1.2行列式的性质与计算§1.1行列式的定义1.1.1排列、逆序与对换1,1,2n阶行列式§1.1行列式定义行列式起源于解线性方程组，但解线性方程组后来被矩阵理论所代替，再也不用行列式来求解线性方程组了.行列式的价值主要体现在理论推导上，是研究方阵性质的重要工具.其中有三个重要的定理:(1)行列式展开定理;(2)行列式乘法定理;(3)Cramer法则.1.排列与逆序把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列(或排列).n级排列共有　种.如：特别：把n个不同的数码１、２、…、n组成的有序数组称为一个n级（

2、阶、元）排列.记作：２级排列共有２种：３级排列共有６种：1.1.1排列、逆序与对换1.1.1排列、逆序与对换1.排列与逆序例如排列３２５１４中，我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.32514定义1.1逆序逆序逆序逆序逆序分析的逆序数.则称这两个数组成一个逆序.中，若数在一个排列前面比大的元素的个数称为元素排在元素逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列.例1计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.(1)２１７９８６３５４定义1.2一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.记为解故此

3、排列为偶排列.217986354010013445解在此排列中，前n个数135…(2n−1)之间不构成逆序，后n个数(2n)(2n−2)…2之间构成逆序，且前前n个数与后n个数之间构成逆序.(2)135…(2n−1)(2n)(2n–2)…2.特别：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.2.对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这样的一个变换叫做对换.例如(1)(2)2.对换定理1.1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性.证明：设排列为(1)易见除a,b外，其它元素的逆序数不改变，若a>b，对换对换后，a的逆序数不变，而b的逆序数

4、减1；若a

5、个数，然后求和.(2n-1)(2n-3)(2n-5),…,531246,…,(2n-2)(2n)在此排列中，前n个数(2n−1)(2n-3),…,531之间构成逆序，后n个数246,…,(2n-2)(2n)之间不构成逆序，前n个数与后n个数之间构成逆序.(2n-1)(2n-3)(2n-5),…,531246,…,(2n-2)(2n)两式相减消去，得类似的，消去，得1.二元线性方程组和二阶行列式①①×：②②×：1.1.2n阶行列式1.二阶行列式1.1.2n阶行列式(1.1)方程组的解为由方程组的四个系数确定.当时，定义1.3由四个数排成二行二列

6、(横排称行、竖排所确定的表达式称列)的数表称为二阶行列式，记为(1.2)主对角线副对角线若记对于二元线性方程组系数行列式二阶行列式的计算：对角线法则行标列标记记则二元线性方程组的解为系数行列式系数行列式例2解二元线性方程组解2.三阶行列式称为三阶行列式.记为构成数表所确定的表达式，由九个数排成三行三列(横排称行、竖排称列)2三阶行列式(2)沙路法三阶行列式的计算：(1)对角线法则以上两种方法只适用于二阶与三阶行列式.解按对角线法则，有例3求行列式解按对角线法则，有例4求解方程若系数行列式三元线性方程组则(1.3)例5解线性方程组解由于方程组的

7、系数行列式为且同理可得故方程组的解为：其中为将系数行列式的第i列分别用常数项来代替而得的新的行列式.3.n阶行列式二阶行列式二阶行列式表示所有不同的行不同的列的两个元素乘积的代数和.两个元素的乘积可以表示为：为2级排列，当取遍了2级排列12，212！=2项.时，即得到二阶行列式的所有项(不包含符号)，共为3.N阶行列式三阶行列式三阶行列式表示所有位于不同的行不同的列的3个元素乘积的代数和.3个元素乘积可表示为：为3级排列，当取遍了3级排列时，即得到三阶行列式的所有项(不包含符号)，共为3！=6项.取正号，是奇排列则取负号.每一项的符号是：当这

8、一项元素的行标按自然数顺序排列后，如果对应的列标构成的排列是偶排列则例如列标排列的逆序数为奇列标排列的逆序数为偶列标排列的逆序数为奇负号正号负号二阶行列式三阶行列式