线性代数课件 第一章 行列式.ppt

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1、课程名称：线性代数本学期授课内容：第一章行列式（除去第四节）第二章矩阵及其运算第三章矩阵的初等变换与线性方程组第四章向量组的线性相关性（除去第五节）第五章相似矩阵及其二次型（除去第一节，第六节，第七节）授课教师：吴燕林授课时间：1-15周第一章行列式重点:二、三阶行列式的对角线法则，n阶行列式的主要性质，n阶行列式的计算方法，克莱姆法则难点：n阶行列式的定义；n阶行列式的计算§1二阶与三阶行列式一、二阶行列式二、三阶行列式三、小结用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入方程组的解为由方程组的四个系数确定.由四个数排成二行二列（横排称行(row)、竖排称列(column))的数表

2、1.定义aij称为行列式的元素或元。aij的第一个下标称为行标。aij的第二个下标称为列标。(a21为行列式第2行第1列的元素)行列式第i行第j列的元素称为行列式的(i,j)元。主对角线副对角线对角线法则2.二阶行列式的计算若记对于二元线性方程组系数行列式3.二元线性方程组的解为注意分母都为原方程组的系数行列式.则当系数行列式例1解例2解二、三阶行列式1.定义记称为数表（5）所确定的三阶行列式.(1)对角线法则2.三阶行列式的计算注意红线上三元素的乘积冠以正号，蓝线上三元素的乘积冠以负号．说明(1)对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．(2)三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行

3、,不同列的三个元素的乘积,其中三项为正,三项为负.例1解3.利用三阶行列式求解三元线性方程组计算同理可计算例2解按对角线法则，有（此为三阶Vandermonde行列式）例3解(1)方程左端(2)方程左端二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的.对角线法则二阶与三阶行列式的计算三、小结思考题1.2.如何定义四阶，五阶，以及更高阶行列式？思考题解答解设所求的二次多项式为：由题意得得一个关于未知数的线性方程组,又得故所求多项式为引例用1、2、3三个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？解123123百位十位1231个位123种放法.共有1、概念的引入§2全排列及其逆序数问题定

4、义把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）.个不同的元素的所有排列的种数，通常用表示.由引例同理2、全排列1.由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称为一个n级排列。如：12345，54321，43512均为5级排列2.123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。定义1、1我们规定各元素之间有一个标准次序,n个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3、逆序数在一个排列中，若数则称这两个数组成一个逆序.在这个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数，记为排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.32514逆序逆序逆序4

5、.计算排列逆序数的方法设排列为为构成的逆序数则其逆序数为例1求排列32514的逆序数.解：例2计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.解：(1)解当为偶数时，排列为偶排列，当为奇数时，排列为奇排列.观察三阶行列式说明（1）三阶行列式共有6项，即3!项．（2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积．§3n阶行列式的定义（3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列的三个元素的下标排列．例如列标排列的逆序数为列标排列的逆序数为偶排列奇排列n阶行列式的定义定义说明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的;2、阶行列式是项的代数和;3、阶行

6、列式的每项都是位于不同行、不同列个元素的乘积;4、一阶行列式不要与绝对值记号相混淆;5、的符号为例3计算行列式分析展开式中项的一般形式是从而这个项为零，所以只能等于,同理可得解即行列式中不为零的项为解:例3计算行列式例4证明(2)（副对角线上的）对角行列式(1)(主对角线上的)对角行列式未写出的全是零例5计算上三角行列式分析（从最后一行先考虑）展开式中项的一般形式是所以不为零的项只有解例5计算上三角行列式解例6同理可得下三角行列式上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式思考：若行列式有一行全都是零，则行列式值为？1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一

7、次方程组的需要而定义的.2、n阶行列式共有n!项，每项都是位于不同行、不同列的n个元素的乘积,正负号由列标排列的逆序数决定.小结3、n阶行列式的定义很抽象，只要能够知道定义式中各符号的意义就可以了.思考题已知思考题解答解含的项有两项,即对应于§5行列式的性质一、定义二、行列式的性质三、应用举例一、定义行列式称为行列式的转置行列式.记二、行列式的性质性质1行列式与它的转置行列式相等.说明行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立.性质2互