线性代数课件第一章行列式

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1、教材：线性代数吴天毅等主编南开大学出版社教案作者：韩会磊第一章行列式•行列式的定义•行列式的性质•克莱姆（Cramer）法则主要内容：•行列式按行（列）展开§1·1行列式定义用消元法解二元一次方程组：一、二阶和三阶行列式分母为的系数交叉相乘相减：定义二阶行列式：主对角线元素图示记忆法例用消元法解三元线性方程组：可得的分母为(若不为零）：定义三阶行列式：＋－图示记忆法例解例计算三阶行列式的例子：对于数码is和it：逆序数：一个排列中逆序的个数，例求132、436512的逆序数解逆序数为偶数的排列称为偶排列，n阶（级）排列：由n个不同的数码1,2,…n组成的有序数组132是奇排列，436

2、512是偶排列。但312是偶排列，634512、436521是奇排列。（二）排列与逆序数大前小后叫逆序(反序)记为：为奇数的称为奇排列。可见：交换任何两个元素（对换）改变了排列的奇偶性！再分析P.5的表1-1排列123132213231312321逆序无322121，3131，3232，31，21逆序数011223奇偶性偶偶偶奇奇奇•一个对换改变排列的奇偶性；•3!个排列中，奇、偶排列各占一半。定理1对换改变排列的奇偶性。证（1）设元素i,j相邻：•若ij,则新排列减少一个逆序。—改变了奇偶性（2）设元素i,j不相邻：共作了2s+1次相邻对换，由（

3、1）知，排列改变了奇偶性。定理2n个数码构成n!个n级排列，奇偶排列各占一半（n!/2个）。证设有p个奇排列，q个偶排列，p个奇排列p个偶排列q个偶排列q个奇排列（三）n阶行列式定义2阶：3阶：n阶：1阶：几种特殊行列式：例解由定义，只有左下三角形行列式右上三角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.9)类似可得：特别：对角形行列式等于对角线上元素之乘积(P.10)OO例的一般项还可记为或（定理1.3）(P.10)列标按自然顺序排列n阶行列式的另外两种表示(证明略）：例下列元素之积是否为四阶行列式的项？否，因为第二行有两个元素；是，因为四个元素取自不同行不同列，例解§1.2行列式的性质复

4、习：定义：的转置行列式行变列，列变行例证D的一般项：它的元素在Ｄ中位于不同的行不同的列，因而在Ｄ的转置中位于不同的列不同的行．所以这n个元素的乘积在Ｄ的转置中应为性质1所以由此性质也知：行具有的性质．列也同样具有．性质2交换行列式的两行（列）,行列式反号。证D的一般项：交换行以后，元素所处的列没变，只是行标作了交换，即行标排列中，i和s作了对换，改变了排列的奇偶性，故反号。推论：n阶行列式某两行（列）对应元素全相等，则行列式等于零。证性质3证记左边的行列式为D1,有注：该性质对列也成立。推论：n阶行列式某两行（列）对应元成比例，则行列式等于零。证提出比例系数后，行列式有两行（列）对应

5、相等，由前面的推论知行列式为零。性质4注：该性质对列也成立。证左边行列式的一般项为：可推广到m个数的情形。性质5（保值变换）证成比例例计算行列式思路：用保值变换化成三角形行列式将过程记在行列式符号的右边，用“箭头”表示。解为对称行列式例为反对称行列式例是反对称行列式不是反对称行列式两个重要概念例证明奇数阶反对称行列式的值为零。证当n为奇数时有用性质计算行列式=9一般地，可以计算请牢记这种方法，这类题就这种做法。关于范德蒙行列式注意以下三点1.形式:按升幂排列,幂指数成等差数列.2.结果:可为正可为负可为零.3.共n(n-1)/2项的乘积.对于范德蒙行列式,我们的任务就是利用它计算行列

6、式,因此要牢记范德蒙行列式的形式和结果.你能识别出范德蒙行列式吗？你会用范德蒙行列式的结果做题吗？例：范德蒙行列式有几种变形?行列式按行（列）展开主要内容：1.代数余子式2.展开定理§1.3余子式n-1阶行列式Aij=(-1)i+jMijaij的代数余子式（一）按某一行（列）展开定理4按行展开按列展开即：D等于第i行（列）元素与对应的代数余子式相乘相加。证（下面就四阶行列式给出证明，方法是从特殊到一般。）(3)四阶行列式按第三行展开的结果＃n阶行列式按第i行展开：例2计算行列式解按第三列展开其中：所以解2按第二行展开按第一列展开例３讨论当Ｋ为何值时解所以，当例4求证证按第1列展开n-

7、1阶即：第i行元素与另一行元素的代数余子式相乘相加等于零。定理5证0=i行s行综合定理4，定理5对于行：对于列：克莱姆（Cramer）法则§1.4其解：记系数行列式讨论n个方程、n个未知量的线性方程组的解一、非齐次线性方程组系数行列式：用常数项列替换D的第j列，其余列不变。记6911定理5（克莱姆法则）对于方程组（1），若有唯一解，且•证明思路：1°验证满足各方程（存在性）；2°（1）的解定能表成形式（唯一性）。所用结果：证1°将Dj按第j列展开代入第1个