线性代数第一章行列式

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1、课程的地位和作用★线性代数（LinearAlgebra）是代数学的一个分支，“代数”这一个词在我国出现较晚，在清代时才传入中国，当时被人们译成“阿尔热巴拉”，直到1859年，清代著名的数学家、翻译家李善兰才将它翻译成为“代数学”，一直沿用至今。★线性代数是一门非常重要的基础课之一。线性代数主要处理的是线性关系的问题，随着数学的发展，线性代数的含义也不断的扩大。它的理论不仅渗透到了数学的许多分支中，而且还在理论物理、理论化学、工程技术、国民经济、生物技术、航天、航海等领域中都有着广泛的应用。★该课程对于培养学生的逻辑推理和抽象思维

2、能力、空间直观和想象能力具有重要的作用。通过线性代数的学习，能使学生获得应用科学中常用的矩阵、线性方程组等理论及其有关基本知识，并具有较熟练的矩阵运算能力和用矩阵方法解决一些实际问题的能力。课程结构线性方程组空间向量行列式矩阵线性空间线性变换欧式空间约当标准形二次型线性代数与分析几何第一章行列式第一节逆序与对换一排列与逆序二对换三小结四思考一、排列与逆序“１２３４５６”六个数字可以组成多少个六位数？没有重复元素2、定义1、引例把ｎ个不同的元素排成一列，叫做这ｎ个元素的全排列（或排列）.ｎ级排列共有　种如：特别：把ｎ个不同的数码１

3、、２、…、ｎ组成的有序数组称为一个ｎ级（阶、元）排列.记作：２级排列共有２种：３级排列共有６种：例排列３２５１４中，我们规定各元素之间有一个标准次序,ｎ个不同的自然数，规定由小到大为标准次序.3、逆序数32514定义逆序逆序逆序逆序逆序分析定义的逆序.则称这两个数组成一个逆序.中，若数在一个排列前面比大的元素的个数称为元素排在元素请同学们以最快的速度写出所有４级排列.逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列.4、排列的奇偶性例1计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性.1）２１７９８６３５４定义一个排列中所有逆

4、序的总数称为此排列的逆序数.记为解：故此排列为偶排列.217986354501304401当时为偶排列；当时为奇排列.解：0122）计算排列的逆序数，并讨论奇偶性.分析当为奇数时，该排列为奇排列.当为偶数时，该排列为偶排列；特别：将相邻两个元素对调，叫做相邻对换.1、定义二、对换在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换.例1）2）相邻对换任意对换2、对换与排列的奇偶性的关系定理1一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。证明:设排列为1）易见除外，其它元素的逆序数不改变，若对换对换后的逆序数不

5、变，而的逆序数减1；若对换后的逆序数增1，而的逆序数不变.因此对换相邻两个元素,逆序数加1或减1,所以排列改变奇偶性。相邻对换偶数次排列奇偶性不变相邻对换奇数次排列奇偶性改变设排列为2）对换次相邻对换所以任意两个元素对换，排列改变奇偶性.次相邻对换欲即次相邻对换奇数次推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数.定理2ｎ个元素(ｎ＞１)共有ｎ!个ｎ阶排列,其中奇、偶排列各占一半.证明:设共有ｓ个奇排列,ｔ个偶排列，现证ｓ＝ｔ.故必有奇排列偶排列所以前两个数对换ｓ个ｓ个偶排列奇排列所以前两个数对换ｔ个

6、ｔ个２排列具有奇偶性.３一次对换，排列改变奇偶性.１ｎ个不同的元素的所有排列种数为ｎ!三、小结4ｎ个元素(ｎ＞１)共有ｎ!个ｎ阶排列,其中奇、偶排列各占一半.四、思考求排列的逆序数两种思路排列中比每一元素大的且排在前面的元素个数，即是这个排列的逆序数。的总和排列中比每一元素小的且排在后面的元素个数，也是这个排列的逆序数。的总和例求下面排列的逆序数，并确定奇偶性.解1）从前往后求排在元素前面且比元素大的数的个数，而后求和.2）从后往前求排在元素后面且比元素小的数的个数，而后求和.第二节行列式的概念一二阶行列式四小结二三阶行列式三n

7、阶行列式五思考，称为这个元素的一个排列.定义把组成的有序数组称为一个阶排列.通常用表示.1、排列把个不同的元素按一定的顺序排成一行课前复习我们规定各元素之间有一个标准次序,个不同的自然数，规定由小到大的排列为标准排列.2、排列的逆序数中，若数在一个排列，则称这两个数构成一个逆序.一个排列的逆序总数称为这个排列的逆序数.记作定义逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.3、排列的奇偶性定义在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换．将相邻两个元素对调，叫做相邻对换．4、对换一个排列中

8、的任意两个元素对换，排列改变奇偶性定理在全部阶排列中,奇偶排列各占一半,即各有个.定理用消元法解二元线性方程组两式相减消去，得一、二阶行列式1、引入类似的，消去，得方程组的解为由方程组的四个系数确定.当时，2、定义Def由四个数排成二行二列（横排称行、竖排所确定