线性代数第一章行列式

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1、线性代数--敖淑艳有限维空间的线性理论学习意义线性代数是一门重要的基础课，是学习许多后续课程的基础。线性问题广泛存在于各个领域，某些非线性问题在一定条件下也可转化为线性问题来处理。线性代数的概念和方法广泛地应用在各个领域中，成为从事科学技术工作不可缺少的工具。研究对象行列式矩阵线性方程组线性空间与线性变换特征值问题与二次型内容§1.2n阶行列式§1.3行列式的性质§1.1全排列、逆序数与对换§1.4行列式的计算§1.5克拉默法则第一章行列式§1.1全排列、逆序数与对换二、对换一、全排列及其逆序数一、全排列及其逆序数定义个不同的元素的所有排

2、列的种数，通常用表示.把n个不同的元素排成一列，叫做这n个元素的全排列（也简称排列）.1.全排列通常对n个不同的自然数，选定1，2，3，…，n，按由小到大排列起来的排列叫标准排列.2.逆序与逆序数在一个排列中，任取两个数，若大的数排在小的数前（如），则称这两个数构成一个逆序.(1)定义一个排列中所有逆序的总数称此排列的逆序数.逆序数为奇数的排列称为奇排列;逆序数为偶数的排列称为偶排列.(2)计算排列的逆序数的方法全体元素的逆序数之和即是这个排列的逆序数.设为n个自然数的一个排列,考虑元素pi(i=1,2,…,n)32514于是排列3251

3、4的逆序数为例1求排列32514的逆序数，并确定奇偶性.解在排列32514中,3排在首位,逆序数为0;依此类推定义把一个排列中任意两个元素的位置互换，其余元素不动，就得到另一个排列，这样一个变换叫做对换．将相邻两个元素对换，叫做相邻对换．经过1，2对换，就变成了1432；例，排列2431，二、对换1.对换定理一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性．证明先看相邻对换的情形，设排列为对换与显然，在排列(1)中，如a,b与其它元素构成逆序，则在排列(2)中仍然构成逆序，如不构成逆序则在(2)中也不构成逆序；因此，对于相邻对换的情形，定理是

4、对的。如果原来a,b组成逆序，则经过对换，逆序数就减少一个；如果原来a,b不组成逆序，则经过对换，逆序数就增加一个.无论是增加1还是减少1，排列的逆序数的奇偶性总是变了.一般对换的情形，同学课下证明。§1.2n阶行列式二、三阶行列式三、n阶行列式一、二阶行列式的引入用消元法解二元线性方程组一、二阶行列式的引入消x21.二阶行列式的引入方程组的解为由方程组的四个系数确定.即数aij称为行列式的元素.aij的第一个下标i为行指标，第二个下标j为列指标。即aij位于行列式的第i行第j列。2.二阶行列式定义主对角线副对角线对角线法则（沙路法）3.

5、二阶行列式的计算例1解若记对于二元线性方程组系数行列式4.用行列式简记二元线性方程组的解则二元线性方程组的解为注意分母都为原方程组的系数行列式.称为三阶行列式。可用下面的对角线法则记忆说明对角线法则只适用于二阶与三阶行列式．二、三阶行列式1.定义例2解6项的行下标全为123，可以写成，列下标分别为123，231，312此三项均为正号列标排列为偶排列132，213，321此三项均为负号列标排列为奇排列2.三阶行列式展开式中正负号规则展开式中每一项的三个元素位于不同的行、不同的列.三、n阶行列式1.定义的项,其代数和称为n阶行列式.，得到形如

6、定义1从二、三阶行列式中，也可发现其遵循一个共同规律——可以按第一行展开，2.余子式与代数余子式其中例3定义2例4证明对角行列式（其中未写出的元素都是零）3.由定义计算证明第一式依定义是显然的,下面只证第二式.若记非零项则依行列式定义证毕例5证明下三角行列式证项的一般形式是即，下三角行列式等于主对角线上元素的乘积.行列式共有项，每项都是位于不同行不同列的小结(1)n级排列1排列及逆序由1,2,···,n组成的一个有序数列(2)逆序及逆序数奇排列与偶排列2行列式行列式是一个与数表相关的数或表达式.n阶n个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数

7、决定.作业P33：2,7