线性代数教案_第一章_行列式

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1、教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日授课章节行列式§1.1n阶行列式　目的要求理解二阶与三阶行列式,了解全排列及其逆序数。重点二阶与三阶行列式计算，行列式的性质，克拉默法则难点n阶行列式的计算，克拉默法则行列式的理论是人们从解线性方程组的需要中建立和发展起来的，是线性代数中的一个基本概念，它在线性代数、其他数学分支以及在自然科学的许多领域中上都有着广泛的应用．在本章里我们主要讨论下面几个问题：(1)行列式的定义；(2)行列式的基本性质及计算方法；(3)利用行列式求解线性方程组(克莱姆法则)．本章的重点是行列式的计算，要求在理解n阶行列式的概

2、念，掌握行列式性质的基础上，熟练正确地计算三阶、四阶及简单的n阶行列式．计算行列式的基本思路是：按行(列)展开公式，通过降阶来计算．但在展开之前往往先利用行列式性质通过对行列式的恒等变形，使行列式中出现较多的零和公因式，从而简化计算．常用的行列式计算方法和技巧有：直接利用定义法，化三角形法，降阶法，递推法，数学归纳法，利用已知行列式法．行列式在本章的应用是求解线性方程组(克莱姆法则)．要掌握克莱姆法则并注意克莱姆法则应用的条件．§1n阶行列式一、二元线性方程组与二阶行列式解方程是代数中一个基本的问题，行列式的概念起源于解线性方程组，它是从二元与三

3、元线性方程组的解的公式引出来的．因此我们首先讨论解方程组的问题．下面考察二元一次方程组（1.1）当时，由消元法知此方程组有唯一解，即第次第1－32页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日（1.2）可见，方程组的解完全可由方程组中的未知数系数以及常数项表示出来，这就是一般二元线性方程组的解公式。但这个公式很不好记忆，应用时十分不方便。由此可想而知，多元线性方程组的解公式肯定更为复杂。因此，我们引进新的符号来表示上述解公式，这就是行列式的起源。1、二阶行列式：由4个数及双竖线组成的符号称为二阶行列式。注：(1)构成：二阶行列式含有两行，两列。横排

4、的数构成行，纵排的数构成列。行列式中的数（）称为行列式的元素。行列式中的元素用小写英文字母表示，元素的第一个下标称为行标，表明该元素位于第行；第二个下标称为列标，表明该元素位于第列。相等的行数和列数2称为行列式的阶。(2)含义：它按规定的方法表示元素的运算结果，即为：由左上至右下的两元素之积，减去右上至左下的两元素之积。其中每个积中的两个数均来自不同的行和不同的列。或者说：二阶行列式是这样的两项的代数和，一项是从左上角到右下角的对角线(又叫行列式的主对角线)上两个元素的乘积，取正号；另一项是从右上角到左下角的对角线(又叫次对角线)上两个元素的乘积

5、，取负号。即：这就是对角线法则。【例1】计算下列行列式的值第次第1－32页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日（1）（2）（3）【解】（1）（2）（3）【例2】当为何值时，行列式的值为0？【解】因为，要使，须使或，即知，当或时，行列式的值为0。如果令，则当时，二元一次方程组（1.1）的唯一解（1.2）可表示为注的分子行列式是将系数行列式中的第1列换成方程组的常数项而得到；的分子行列式则是把系数行列式中的第2列换成方程组的常数项而得到。这样用行列式来表示方程组的解，就得到简便、整齐，便于记忆与运算的形式(亦称克莱姆法则)。第次第1－32页教案

6、课程名称:线性代数编写时间：20年月日【例3】求解二元线性方程组【解】由于系数行列式，知该方程组有解，再由于，，即得方程组的解为，似乎这样表示线性方程组的解比原来更为烦琐，但这创造了多元线性方程组的解的公式及其规律性的解法，并为用电脑程序解多元线性方程组打下了良好的基础。更为下一步学习矩阵知识，为学习高级、大型的管理知识做好了准备。与二阶行列式相仿，对于三元一次线性方程组作类似的讨论，我们得到三阶行列式：2、三阶行列式：由在双竖线││内，排成三行三列的9个数组成的符号：称为三阶行列式。注（1）构成：三阶行列式含有三行，三列。横排的数构成行，纵排的

7、数构成列。行列式中的数称为行列式的元素，相等的行数和列数3称为行列式的阶。(2)含义：三阶行列式按规定的方法表示9个元素的运算结果，为6个项的代数和，每个项均为来自不同行不同列的三个元素之积，其符号的确定如下图所示：第次第1－32页教案课程名称:线性代数编写时间：20年月日从图中可见，三阶行列式是这样的六个项的代数和：从左上角到右下角的每条蓝色连线上，来自不同行不同列的三个元素的乘积，取正号；从右上角到左下角的每条红色连线上，来自不同行不同列的三个元素的乘积，取负号。即运算时，在整体上，应从第一行的起，自左向右计算左上到右下方向上的所有的三元乘积

8、，再从第一行的起，自左向右计算右上到左下的方向上的所有的三元乘积。对于各项的计算，应按行标的自然数顺序选取相乘的元素。这样较为不容易产生