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1、1函数的极限小结作业数列的极限第二节极限的概念、无穷小与无穷大(上）第一章极限和函数的连续性质一、概念的引入极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长.庄子(约公元前355~275年)在《天下篇》“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.意思是:一尺长的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,这样永远也取不完.数列的极限中写道:割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积3极限的概念割圆术：“
2、割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,
3、逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周
4、合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”割圆术：——刘徽引例.设有半径为r的圆,逼近圆面积S.用其内接正n边形的面积极限的概念13如定义按照自然数的顺序排列的一列数简记为通项(generalterm),或者一般项.极限的概念二、数列(sequenceofnumber)及其极限1.数列的概念14数列的(两种)几何表示法:数列可看作自变量为正整数n的函数:整标函数或下标函数(1)数列对应着数轴上一个点列.极限的概念(2)在平面上画出自变
5、量坐标轴和因变量坐标轴,注不可将这串点连成曲线.onxn····1234则数列的几何意义是数列的极限平面上一串分离的点.162、数列极限的概念即问题当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,当n无限增大时,无限接近于1.极限的概念如何确定?极限的概念17那是不是对任意的数列，当无限增大时,数列都会无限接近于某一确定的数值?当无限增大时,数列在两个数1和-1之间来回变化，不会无限接近于某个固定的常数。答案是否定的，例如数列18定义设有数列与常数如果当无限增大时,无限接近于,则称常数为数列的极限(limit）,或如果一个数列没有极限,就称该数列发散(div
6、erge).注:记号常读作:当趋于无穷大时,趋于极限的概念记为：或者称数列收敛于,解：010确定常数极限存在极限的概念19（非确定常数）极限不存在（发散）极限不存在（发散）极限的概念20213.1.有界性如,有界;无界.定义若存在正数M,n,恒有称为无界.则称数列有界;数轴上对应于有界数列的点都落在闭区间上.否则,使得一切正整数极限的概念3、收敛数列的性质22定理1有界性是数列收敛的必要条件,推论注收敛的数列必定有界.极限的概念无界数列必定发散.不是充分条件.3.2.唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.3.3.保号性定理3如果且推论如果数列从某项起有且那么2
7、3函数在无穷远点的极限函数在一点的极限三、函数的极限对于数列,即整标函数其自变量的变化只有一种情形.而对于一般函数来说,有:极限的概念1.当x→∞时,函数f(x)的极限函数当x→+∞时,函数f(x)无限趋近于常数1，此时我们称1为当x→+∞时函数f(x)的极限.定义如果当自变量x无限增大时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函数f(x)当x→+∞时的极限，记为-11或极限的概念24当x→-∞时,函数f(x)无限趋近于常数1，此时我们称1为当x→-∞时函数f(x)的极限.定义如果当无限增大时，函数f(x)无限趋近于某个确定的常数A，则称常数A为函
8、数f(x)当x→∞时的极
