向量方法在高中数学解题中的应用.doc

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1、向量方法在高中数学解题中的应用王贤举摘要：向量具有丰富的物理背景。它既是几何的研究对象，又是代数的研究对象，是沟通代数、几何的桥梁。通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例，体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的一些作用和优点。关键词：高中数学；向量法；解题；应用Abstract:Thevectorhasrichphysicalbackgrounds.Itisboththeobjectofgeometryandtheobjectofalgebra,andalsoisthebridgeofalge

2、braandgeometry.Bysomeexamplesaboutvectormethodsthatmakesomealgebraproblemsintogeometryproblems,ormakesomegeometryproblemsintoalgebraproblems,ormakealgebraproblemsandgeometryproblemstransformmutually,itmanifeststhemeritofvectormethodsinsolvingalgebraandgeometryproblemsinsen

3、iorhighschoolmathematics.Keyword:Seniorhighschoolmathematics;Vectormethods;Problemsolving;Application1、向量与高中数学教学向量是既有大小，又有方向的量【1】..，是数学中的重要概念之一。向量具有丰富的物理背景，如力、位移、速度、加速度、动量、电场强度等都是向量。在高中数学新课程中设置向量的容，是基于以下几方面原因：1.1向量是几何的研究对象物体的位置和外形是几何学的基本研究对象。向量可以表示物体的位置，也是一种几何图形（几何里用有向线段表示

4、向量：所指的方向为向量的方向，线段的长度表示向量的大小），因而它成为几何学的基本研究对象。作为几何学的研究对象，向量有方向，可以刻画直线、平面等几何对象及它们的位置关系；向量有长度，可以刻画长度、面积、体积等几何度量问题。1.2向量是代数的研究对象运算及其规律是代数学的基本研究对象。向量可以进行加、减、数乘、数量积（点乘）等多种运算，这些运算及其规律赋予向量集合特定的结构，使得向量具有一系列丰富的性质。向量的运算及其性质自然成为代数学的研究对象。1.3向量是代数研究对象和几何研究对象的桥梁。著名数学家拉格朗日曾经说过：“只要代数同几何分道扬

5、镳，它们的进展就缓慢.它们的应用就狭窄。但当这两门科学结合成伴侣时，它们就互相吸收新鲜的活力，从而以快捷的步伐走向完美”。我国著名数学家华罗庚先生也有“数缺形时少直观，形缺数时难入微”的精辟论述。高中数学中引入向量后【2】，通过在代数、几何中应用，改善教材结构、简化解题方法，也可通过在几何中的应用，加深对向量容的理解。数学《新大纲》【3】引入向量后学习这部分容既可了解向量的实际应用，又可加深对该部分容的理解。..本文通过向量法使代数问题几何化、使几何问题代数化、使代数问题和几何问题相互转化的一些实例，体现向量法在解决中学代数问题和几何问题的

6、一些作用和优点。从而让学生学会使用向量法来解决高中数学问题，提高数学解题能力。2、向量方法在高中数学解题中的应用2.1、向量法使代数问题几何化向量沟通了代数与几何的联系，因此对某些代数问题，如能巧妙地构造向量，便能将其转化为几何问题【4】，从而使问题简化。例1、证明：对于任意两个向量，都有。证明：若中有一个为，则不等式显见成立若都不是时，作,则.（1）当不共线时，如图1所示，则,即.（2）当共线时，若同向，如图2所示，即.若反向，如图3所示，,则综上可知：.评注：..该命题的证明方法有多种，但应用向量工具把代数问题几何化，使其理解更容易和具

7、体化。通过向量具有数形结合的性质，当两个向量不共线时，利用向量的三角形法则，转化为几何中三角形的性质进行讨论，得出.当两向量共线时，转化为对线段的讨论，从而可得到。2.2、向量法使几何问题代数化通过对向量的学习可知，向量有一整套的符号和运算系统，对大量的几何问题，不但可以用向量的语言加以叙述，而且完全可以借助向量的方法予以证明，从而把抽象的逻辑推理转化为具体的向量运算【5】。例1、求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。证明：如图4所示，在中，，是边上的中点。由向量加法的平行四边形法则知,评注：向量作为联系代数与几何图形的最佳桥梁，它可

8、以使图形量化，使图形间的关系代数化。本题将直角三角形的各边及斜边上的中线用向量表示出来，利用平面向量的平行四边形法则和两向量垂直时数量积为0，转化为向量的代数运算，得，即证得直角