向量在解决高中数学问题中的应用

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1、2014年第3期·解题秘笈·谤数外学司向量在解决高中数学问题中的应用浙江省上虞职教中心陈轶一、引言v％x+Tq-1-·、／得的最小值为高中数学教材近几年变化较大，向量是新教材增加的(二)利用向量来证明不等式内容，如何充分地用它来解决一些几何与代数问题将成为迫切需要研究的课题。传统方法在解决相关问题时往往需例2、已知x+y+z=l，求f_：x。≥I要较高技巧，学生需要花费较多的精力来寻找解题技巧，一旦找不到就会束手无策。因此，我们希望找到一种比较证明：=(，)，；=(1'1)，则ql≤Iq通用的方法，使得技巧变得不再那么

2、重要，从而有利于学lI≤、／·、／生快速全面掌握相关知识。下面就向量在高中数学中的应．‘≥}用进行探讨。利用解决有关不等式证明问题也简单易证基本向量工具为：(三)利用向量来解决三角问题(1)向量垂直的充要条件：非零向量上i甘．：0已知cosg~+器-l，掘等+-l，(2)两向量平行(共线)的充要条件：非零向量n，6平行(共证明：设；=(co萼s／~·sm／zt)，q=(c。，si)，线)车6=0，入∈R●(3)向量夹角公式：o与6的夹角为0，则cos=．；l=c。s+sinZot=1≤·IqJ=三．。WⅥ于是

3、知，等号成立的条件是：cosOsi=sl署彤coq3(4)向量n在6上的射影长ll(5)J．iJ≤lal‘·ll‘．．tanj8=tan二、向量在代数中的应用’-cosjB=c。s且sinjB=sin．_．盟．COS20／+言=等+(一)利用向量来求最值问题例1，设m、Y∈R，且m+n：n，=6，求mx+ny：1sln'o~的最大值例4、证明：cos()=c0sCO+sinasi解：=m，n)，；=()·；=+ny且=证明：如图1，建立直角坐标系，作单位圆，角的终边分别与单位圆Xfmg~，=．’qJ≤lqI交于点P、Q

4、则_．．1mx+nyJ≤、／·；=．·．17h％+ny≤=(cos，sin)，-o~：cosc0+、(等号当且仅当，ny=时取到)·．．mx+ny的最大值为、类似的利用I．；I≤·可解决一大类有关不等式的最值问题，如、／+、／=5，求的最小值，可设p=(，vTy~-2一)，；=(1，1)由上公式，、／_lr+veys-2≤X／~-x+1)+(y-2)一·、／=·解题秘笈·2014年第3期三角问题用向量来解决有时也简单快捷，特别是第2—．+-÷——n·=，n·DGl=．·．{．-．{得题中用数量积来证明命题更显简洁明了。

5、【)，=—三、向量在几何中的应用n=(，_z，z)_z(一，一，)·1=0，·l=0．·．(一)向量在平面几何中的应用ff6=一c利用向量共线来证明几何中的平行问题，能使学生容【一c易接受。得，：(一，一。，。)：(一，一，)．·．二：(兰一)．．·．例5：如图2，在AABC中，点、Ⅳ分别是AB、AC的·中点，求证：MNfBCH．MN=~-BC．．面l面AlClD()由()知面的法向量为m=(一，一，)设面证明：’．‘==一争．的法向量为p=(，。)，=}()=争图2则又‘．’=(，，)，l=(，，)．‘·=0，·——

6、———·．．ji与百共线且1)il_l百1．．_MN／／BC且MN=‘=0．‘．{【二0+忆0c二·．．{‰。'0))取面跚的(二)向量在立体几何中的应用l向量在证明平行与垂直中的应用法向量为p=(，一，)(1)证明平行问题：又·．··：(一，一，)·(，一，o)：一：．·．一上一①线线平行在直线f，2：上分别取方向向量，，若·．．面lC上面l：·(为常数)则f∥z。(3)。．=(，，)，。=(O，，)，E分AC的比为2，②线面平行直线平面，在z上取方向向量z，任得E(}，手，1)．·．赢=(}，，1)，取o∥，6∥，

7、且不共线，取面上两个不共线的向量。=(0，，)，l=若l=xa+yb，则z／／。(，，)，令。C曰。，③面面平行取不同平面的法向量，，若则(}，，1)(0，1，1)(1，，1)∥(即rti=An：)则∥。1(2)证明垂直问题：2=—=一①线线垂直在直线f，f：上分别取方向向量，，若’得一=手j1+}jfl·／2=0，贝0Z。上f2。3=+V②线面垂直在直线2上取方向向量z，平面O／的法‘．．面1向量为n，若n∥z(~[In=A1)则f上。2．在求角问题中的应用活数外学司③面面垂直取不同平面的~1日J萤-n--。-}，，

8、若①线线角(主要求异面直线所成的角)若直线z。，异J_(即二·二：0)则上。面且在其上分别取方向向量，，则直线：所成角满例6：已知正方体ABCD-A。B。CD中，其棱长为1，E为AC上一点，且AlE·EC1=2：1，I卉I求证：(1)面AB。C／／面ACD(2)面AB。C上面BDB②线面角在直线z上取方向向量，平面a的法向量(3i