2019.随机变量的方差ppt课件.ppt

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1、由第一节我们知道，随机变量的数学期望可以反映变量取值的平均程度，但仅用数学期望描述一个变量的取值情况是远不够的。我们仍用类似于第一节中的例子来说明。假设甲乙两射手各发十枪，击中目标靶的环数分别为§4.2随机变量的方差容易算得，二人击中环数的平均值都是8.8环，现问，甲、乙二人哪一个水平发挥的更稳定？甲981089889109乙67910109108910直观的理解，二选手中哪一个击中的环数偏离平均值越少，这个选手发挥的更稳定一些。为此我们利用二人每枪击中的环数距平均值的偏差的均值来比较。为了防止偏差

2、和的计算中出现正、负偏差相抵的情况，应由偏差的绝对值之和求平均更合适。对于甲选手，偏差绝对值之和为：所以甲、乙二人平均每枪偏离平均值为0.64环和1.08环，因而可以说，甲选手水平发挥更稳定些。类似的，为了避免运算式中出现绝对值符号。我们也可以采用偏差平方的平均值进行比较。定义(离差):设X为随机变量,EX存在,称X-EX为离差;显然：E(X-EX)=0.定义(方差):设X为随机变量,EX存在,且E(X-EX)2存在,则称E(X-EX)2为X的方差,记为:DX=E(X-EX)2特别,记σx=注意:方

3、差反映了随机变量相对其均值的偏离程度.结合随机变量函数的数学期望可得:(1)若P(X=xn)=pn,n=1,2,...,则DX=E(X-EX)2(2)若X为连续型,X~f(x),则DX=E(X-EX)2随机变量的方差为X的标准差.若X的取值比较分散，则方差较大.若方差D(X)=0,则r.v.X以概率1取常数值.方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度.若X的取值比较集中，则方差较小；D(X)=E[X-E(X)]2方差的性质:(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)

4、=DX(4)DX=EX2-(EX)2证明:(2)D(aX)=E[aX-E(aX)]2=E[a(X-EX)]2=a2E(X-EX)2=a2D(X)(4)DX=E(X-EX)2=E[X2-2X(EX)+(EX)2]=EX2-E[2X(EX)]+E(EX)2=EX2-2(EX)(EX)+(EX)2=EX2-(EX)2EX2=DX+(EX)2(常用于计算方差)(注:EX是常数)(1)D(c)=0;(2)D(aX)=a2D(X)(3)D(X+b)=DX(4)DX=EX2-(EX)2从而证明：若X与Y相互独立,

5、则已知性质（5）可以推广到多个相互独立的随机变量的情形。例如，当相互独立时，成立例1对服从（0—1）分布的随机变量X，分布列为求X的方差。已知而且则X的方差为解由上节中的例14知其中服从同一（0—1）分布：且相互独立。又由本节例1有于是可得：解例2设随机变量X服从二项分布，试求例已知随机变量X服从二项分布，且E（X）=2.4,D(X)=1.44,则二项分布的参数n,p的值为（）①n=4,p=0.6②n=6,p=0.4③n=8,p=0.3④n=24,p=0.1例设X表示10次独立重复射击命中目标的次数

6、,每次射中目标的概率为0.4,则X2的数学期望E（X2）=()②18.4例3设随机变量X服从参数为的泊松分布，求在本章第一节的例中我们已经知道从而解例4对服从[a，b]区间上均匀分布的随机变量X，计算已知，且解从而几何分布而：所以：f(x)x0μσ小σ大EX=μ，DX=σ2正态分布期望和方差例5已知求由方差的定义可得解作代换则求EX和DX.练习：设X的密度函数为解得:EX=μ=1,DX=σ2=1/2练习:1.X,Y独立,DX=6,DY=3,则D(2X-Y)=().2.X~N(3,1),Y~N(2,4

7、),X,Y独立,则X-2Y+1~().3.X~P(2),Y~N(-2,4),X,Y独立,Z=X-Y,则EZ=();若X,Y独立,则EZ2=().解:(1)D(2X-Y)=D(2X)+DY=4DX+DY=27(2)E(X-2Y+1)=EX-2EY+1=0,D(X-2Y+1)=DX+4DY=17所以,X-2Y+1~N(0,17)(3)EZ=EX-EY=4,EZ2=E(X2+Y2-2XY)=EX2+EY22EXEY=6+8+8=22或EZ2=DZ+(EZ)2=6+16=2227N(0,17)422例6.设

8、X~,求EX,DX.解:(1)EX==1(2)E(X2)==7/6所以,DX=EX2-(EX)2=7/6-1=1/6练习：设X是一随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ2(μ,σ>0常数)，则对任意常数C，必有（）。解:E[(X-C)2]=E[X2-2CX+C2]=EX2-E(2CX)+C2=EX2-2CE(X)+C2=[(EX)2+DX]-2CE(X)+C2=μ2+σ2-2Cμ+C2=σ2+(μ-C)2而E[(X-μ)2]=E(X-EX)2=DX=σ2所以,(4)正确