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1、第四编平面向量§4.1平面向量的概念及线性运算基础知识自主学习要点梳理1.向量的有关概念（1）向量：既有又有的量称为向量，向量的大小叫做向量的（或）.（2）零向量：的向量称为零向量，其方向是.（3）单位向量：长度等于的向量.大小方向长度长度为0任意的1个单位长度模(4)平行向量：方向或的向量.平行向量又称为，任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上.规定：0与任一向量.（5）相等向量：长度且方向的向量.(6)相反向量：长度且方向的向量.相同相反非零共线向量平行相等相同相反相等2.向量的加法和减法（1）加法①法则：服从三角
2、形法则，平行四边形法则.②运算性质：a+b=(交换律）；(a+b)+c=（结合律）；a+0==.(2)减法①减法与加法互为逆运算；②法则：服从三角形法则.b+aa+(b+c)0+aa3.实数与向量的积（1）长度与方向规定如下①
3、λa
4、=;②当时，λa与a方向相同；当时，λa与a方向相反；当λ=0时，λa=.(2)运算律：设λ、μ∈R，则①λ(μa)=;②(λ+μ)a=;③λ(a+b)=.4.两个向量共线定理向量b与a(a≠0)共线的充要条件是.
5、λ
6、
7、a
8、λ>0λ<00(λμ)aλa+μaλa+λb有且只有一个实数λ，使
9、b=λa基础自测1.下列等式正确的是（填序号）.①a+0=a；②a+b=b+a③AB+BA≠0；④AC=DC+AB+BD解析方法一∵AB与BA为相反向量，∴AB+BA=0，故③错.方法二AB+BA=（OB-OA）+（OA-OB）=OB-OB-OA+OA=0，故③错.①②④2.若ABCD是正方形，E是DC边的中点，且AB=a,AD=b，则BE=.解析如图所示，BE=BC+CE=AD-AB=.3.（2008·广东理）在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延长线与CD交于点F.若AC=a,BD=
10、b,则AF=.解析如图所示,∵E是OD的中点,∴OE=BD=b.又∵△ABE∽△FDE,∴AE=3EF,∴AE=AF.在△AOE中,AE=AO+OE=a+b.∴AF=AE=a+b.4.（2008·辽宁理）已知O、A、B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC+CB=0，则OC=（用OA、OB表示）.解析∵2AC+CB=0，∴2（OC-OA）+（OB-OC）=0，∴OC=2OA-OB.2OA-OB典型例题深度剖析【例1】下列命题正确的是（写出正确的所有序号）.①若a与b共线，b与c共线，则a与c也共线；②任意两个相
11、等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四个顶点；③若向量a与b不共线，则a与b都是非零向量；④有相同起点的两个非零向量不平行。熟练掌握向量的有关概念并进行判断.分析解析由于零向量与任一向量都共线，所以①不正确；由于数学中研究的向量是自由向量，所以两个相等的非零向量可以在同一直线上，而此时就不可能构成四边形，根本不可能是一个平行四边形的四个顶点，所以②不正确；向量的平行只要方向相同或相反即可，与起点是否相同无关，所以④不正确；对于③，其条件以否定形式给出，所以可从其逆否命题来入手考虑，假若a与b不都是非零向量，即a与b至
12、少有一个是零向量，而由零向量与任一向量都共线，可有a与b共线，不符合已知条件，所以有a与b都是非零向量，所以应选③.答案③跟踪练习1（2010·常州模拟）给出下列命题①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必相同；④两个有共同终点的向量，一定是共线向量；⑤向量AB与向量CD是共线向量，则点A、B、C、D必在同一条直线上；⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段.其中假命题的个数为.解析①中，∵向量AB与BA为相反向量，∴它们的长度相等，∴此命
13、题正确.②中若a或b为零向量，则满足a与b平行，但a与b的方向不一定相同或相反，∴此命题错误.③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点相同，则其终点也必定相同，∴该命题正确.④由共线向量知，若两个向量仅有相同的终点，则不一定共线，∴该命题错误.⑤∵共线向量是方向相同或相反的向量，∴若AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点不一定在一条直线上，∴该命题错误.⑥∵零向量不能看作是有向线段，∴该命题错误.答案4【例2】如图所示，若四边形ABCD是一个等腰梯形，AB∥DC，M、N分别是DC、AB的中点，已知AB=a，A
14、D=b，DC=c，试用a、b、c表示BC，MN，DN+CN.结合图形性质，准确灵活运用三角形法则和平行四边形法则是向量加减运算的关键.解BC=BA+AD+DC=-a+b+c，∵MN=MD+DA+AN，∴MD=-DC,DA=-AD,AN=AB,∴MN=a-b-c.DN+CN=DM+MN+CM+MN=2MN=a-2b-c
