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1、第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入第一节 平面向量的概念及其线性运算【知识梳理】1.向量的有关概念大小方向a,b,c长度2.几个特殊向量0任意的1个单位相同或相反相同相反3.向量的加法与减法三角形相反向量平行四边形三角形b+aa+(b+c)4.向量的数乘运算及其几何意义(1)定义:实数λ与向量a的积是一个向量,这种运算叫向量的数乘,记作λa,它的长度与方向规定如下:①
2、λa
3、=
4、λ
5、
6、a
7、;②当λ>0时,λa与a的方向_____;当λ<0时,λa与a的方向_____;当λ=0时,λa=0.相同相反(2)运算律:设λ,μ是两个实数,则①________=(λ
8、μ)a;②(λ+μ)a=________;③λ(a+b)=________.5.共线向量定理向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使______.λ(μa)λa+μaλa+λbb=λa【考点自测】1.(思考)给出下列命题：①零向量的模等于0，没有方向;②若两个非零向量共线，则其方向相同或相反;③④共线向量定理b=λa中，当a=0时，则实数λ不唯一.其中正确的是()A.①③B.②③C.②④D.③④【解析】选B.①错误，零向量的方向是任意的;②正确，因为两个向量都是非零向量，所以当其共线时，其方向相同或相反;③正确，④错误，当a=0且b=0时，则实数λ
9、可为任意实数，故不唯一；当a=0且b≠0时，λ不存在.故不正确.2.如图，已知D，E，F分别是△ABC的边BC，AB，AC的中点，则下列说法正确的是()【解析】选C.由三角形的中位线定理知，3.(2014·武汉模拟)判断下列四个命题：①若a∥b，则a=b；②若
10、a
11、=
12、b
13、，则a=b；③若
14、a
15、=
16、b
17、,则a∥b；④若a=b，则
18、a
19、=
20、b
21、.其中正确的个数是()A.1B.2C.3D.4【解析】选A.①中两向量共线，但这两向量的方向、模均不一定相同，故不一定相等；②中两向量的模相等，但方向不一定相同，故这两向量不一定相等；③中两向量的模相等，但两向量不一定共线；
22、④中两向量相等，则模一定相等，故正确．4．如图，在正方形ABCD中，AC与BD交于点O，=()【解析】选C.5.(2014·永州模拟)若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()【解析】选B.考点1平面向量的有关概念【典例1】(1)已知下列命题:①若a=b,b=c,则a=c;②0与任何向量共线;③所有的单位向量都是相等的向量;④共线向量都在同一条直线上.其中真命题的个数是()A.1B.2C.3D.4(2)(2014·青岛模拟)给出下列命题：①非零向量a与b同向是a=b的必要不充分条件;②若共线，则A，B，C三点在同一条直线上;③若a与b同向，则a与-
23、b反向；④λ,μ为实数，若λa=μb，则a与b共线.其中错误命题的序号为_______．【解题视点】(1)根据向量相等及共线的条件逐一判断即可.(2)由共线向量定理逐一判断即可.【规范解答】(1)选B.①②显然正确；对于③，由向量相等的定义知，③错误;对于④，表示共线向量的有向线段也可能平行，所以④错误.(2)对于①，因为向量a与b都是非零向量，所以该命题是正确的;对于②，因为向量共线，且有公共点B，所以该结论是正确的;对于③，因为b与-b反向,所以该结论正确;对于④，当λ=μ=0时，a与b可为任意向量，不一定共线,所以④不正确.答案：④【互动探究】若本例(2)
24、④中的λ，μ都为非零实数，该结论是否正确？【解析】因为λ,μ都为非零实数，则由λa=μb,得由共线向量定理知该结论正确.【规律方法】平面向量相关概念的核心(1)向量定义的核心是方向和长度.(2)非零共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制.(3)相等向量的核心是方向相同且长度相等.(4)单位向量的核心是方向没有限制，但长度都是一个单位长度.(5)零向量的核心是方向没有限制，长度是0,规定零向量与任何向量共线.平面向量中常用的两个结论(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性.(2)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量.解题时不要把它与函数图
25、象的平移混为一谈.【变式训练】(2014·衡水模拟)下列关于向量的叙述不正确的是()A.向量的相反向量是B.模长为1的向量是单位向量，其方向是任意的C.若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB=CD,则D.若向量a与b满足关系a+b=0，则a与b共线【解析】选C.A，B显然正确;对于C，如图,A，B，C，D四点满足条件，但所以C不正确;对于D，由a+b=0,得b=-a，由共线向量定理知，a与b共线,所以D正确.【加固训练】(1)设a是任一向量，e是单位向量，且a∥e，则下列表示形式中正确的是()A.B.a=
26、a
27、eC.a=-
28、a
29、eD.a=±
30、a
31、e【解析】选
32、D.对于A，当a=0时，
