化二次型为标准形ppt课件.ppt

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1、第六节化二次型为标准形㈡配方法小结思考题作业㈠正交变换法附录第五章相似矩阵及二次型上页下页目录或：对实对称矩阵A，寻找可逆矩阵C，使得成为对角阵：寻找可逆的线性变换，使一般的二次型成为纯平方项之和：上节指出，化二次型为标准形是指本节讨论的问题是：如何化二次型为标准形；并证明二次型一定可以化为标准形.目录上页下页㈠正交变化法上页下页目录对于任一n阶实对称矩阵A，必存在正交矩阵Q，使得Q的n个列向量是A的属于特征值的正交单位特征向量.根据第四节的定理：其中：就是A的n个特征值；由于Q是正交矩阵()，故有于是，有如下的定理：上页下页目录Q的n个列向量是A的属

2、于特征值的正交单位特征向量.定理1对于任一n元二次型存在正交变换(Q为n阶正交矩阵)，使得或：对任一n阶实对称矩阵A，存在正交阵Q，使得其中，是实对称矩阵A的n个特征值；上页下页目录正交变换法化二次型为标准形的步骤①写出二次型对应的A；②求正交矩阵Q，使得(具体步骤已在第四节说明)亦即③写出二次型在正交变换下的标准形上页下页目录例1用正交变换法，将下面的二次型化为标准形.解第一步：写出二次型的矩阵A第二步：求正交矩阵Q，使得成为对角阵上页下页目录A的全部特征值是可得基础解系★当时，解方程组.施密特正交化并单位化上页下页目录★当时，解方程组.可得基础解系

3、取正交阵单位化则有上页下页目录第三步：写出二次型的标准形若作正交变换，即则有上页下页㈡配方法目录上页下页目录【实例1】化如下的二次型为标准形并求出所用的变换矩阵.于是，把所有含x1的项集中在一起：【讨论】观测二次型，其中有关于x1的平方项.上页下页目录(剩余部分还含有x2的平方项)最后作线性变换，得[]把含x2的项集中，重复前面的配方步骤，可得配方可得：上页下页目录记作即在上面的“配方法”中，所用的线性变换为C(可逆矩阵)就是上面的“配方法”化二次型为标准形所用的变换矩阵.上页下页目录【实例2】化如下的二次型为标准形并求出所用的变换矩阵.由于f中有x1x

4、2，可通过如下的可逆变换，在二次型中引入平方项，【讨论】观察二次型，其中没有平方项.即记作上页下页目录代入f，得上式含平方项，按实例1的方式进行配方，得记作即令上页下页目录通过上面的线性变换，得在整个过程中，所作的线性变换为记(化二次型为标准形所用的可逆矩阵)上页下页目录总结：配方法化二次型为标准形的步骤①若二次型中xi的平方项的系数不为零，则先把含有xi的各项集中，然后配方；如果剩余部分还有其它变量的平方项系数不为零，则重复以上步骤，用配方法化简.②如果二次型中所有平方项的系数都为零，则对混合项xixj作如下的可逆线性变换，从而引入平方项，变成①的类

5、型.上页下页目录因此，总存在一系列的可逆矩阵C1,C2,…,Cs,使得二次型通过可逆的线性变换，化为标准形以上两种情况的变换矩阵都是可逆矩阵.根据以上讨论，用归纳法(略)可以证明如下定理：上页下页目录定理2对于任一n元二次型都存在可逆的线性变换，使得或：对任一n阶实对称矩阵A，存在可逆阵C，使得上页下页目录例2用正交变换法，将下面的二次型化为标准形.解将含x1的平方项和混合项集中，配方可得[]将除第1项外所有的含x2的项集中，配方可得上页下页目录令得标准形记作即(其中C为变换矩阵)上页下页目录(1)例1和例2中的二次型是相同的，但正交变换法和配方法给出的

6、标准形不同，①正交变换法：②配方法：可见，用不同的可逆线性变换化二次型为标准形，其标准形一般是不同的.注设标准形中正平方项、负平方项、零平方项的项数分别为p,q,n-(p+q)，根据上页下页目录(2)根据定理2，对于任一n元二次型xTAx，都存在可逆的线性变换，使得显然有：秩(A)=秩(CTAC)=p+q.因此，对于同一个二次型，不论作怎样的可逆线性变换化为标准形，p+q是由矩阵A的秩唯一确定的.下节的惯性定理将指出，p和q也是由A唯一确定.上页下页目录小结思考题作业上页下页目录小结1.化二次型为标准形，除了正交变换法和配方法，常用的方法还有初等变换法

7、(本课程未介绍).2.正交变换法步骤固定，但计算量通常较大；如果二次型中变量较少，用配方法会比较简便.上页下页目录作业1.用正交变换法将如下的二次型化为标准形，并求所用的可逆线性变换.2.用配方法将如下的二次型化为标准形，并求所用的可逆线性变换.①②上页下页目录思考题指出下题解答中的错误，并给出正确解答.将如下的二次型化为标准形[错解]如果作线性变换则，标准形上页下页目录思考题解答[错误分析]由于变换所用矩阵的行列式故，所用的线性变换是不可逆的，从而不是f的标准形.上页下页目录[正确解答]采用配方法将二次型化为标准形，有令，则