化二次型为标准形幻灯片ppt课件.ppt

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1、第五章二次型二次型(5)-1化二次型为标准形.1称为二次型.一、二次型及其标准形的概念2只含有平方项的二次型称为二次型的标准形．例如都为二次型；为二次型的标准形.31．用和号表示对二次型二、二次型的表示方法42．用矩阵表示56在二次型的矩阵表示中，任给一个二次型，就唯一地确定一个对称矩阵；反之，任给一个对称矩阵，也可唯一地确定一个二次型．这样，二次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系．三、二次型的矩阵及秩7解例如8四、合同矩阵的定义910五、合同矩阵的性质合同关系具有反身性、对称性及传递性,是一种等价关系.111213设对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求变量的可逆线性变换

2、(或线性替换)，将二次型化为标准形．六、化二次型为标准形14证明15化二次型为标准形16方法一用正交变换化二次型为标准形17用正交变换化二次型为标准形的具体步骤18解1．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例119202．求特征向量,将特征向量正交化、单位化21则与9对应的基础解系中所含解向量个数为1.22则与18对应的基础解系中所含解向量个数为2.23A已有三个线性无关特征向量并且两两正交.将243.作一个正交矩阵C,所求正交变换为Cy25解例21．写出对应的二次型矩阵，并求其特征值26272．求特征向量,将特征向量正交化、单位化28则与-3对应的基础解系中所含解向量个数为

3、1.29则与1对应的基础解系中所含解向量个数为3.303132A已有4个线性无关特征向量并且两两正交,333435A已有4个线性无关特征向量并且两两正交,将其单位化.36371.若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量用同样方法，直到都配成平方项为止，经过可逆线性变换，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤2.若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.方法二用拉格朗日配方法化二次型为标准形38解例3含有平方项去掉配方后多出来的项3940所用变换矩阵为41解例4由于所给二次型中无平方项，所以42

4、43所用变换矩阵为44*方法三用初等变换化二次型为标准形45464748将一个二次型化为标准形，可以用正交变换法和初等变换法，也可以用拉格朗日配方法.这取决于问题的要求．如果要求找出一个正交变换，无疑应使用正交变换法；如果只需要找出一个可逆的线性变换，那么各种方法都可以使用．化二次型为标准形小结49正交变换法和初等变换法的好处是有固定的步骤，可以按部就班一步一步地去做.正交变换法可以保持二次型所表示图形的几何形状,但计算量通常较大；初等变换法计算量较小.如果二次型中变量个数较少，使用拉格朗日配方法反而比较简单．需要注意的是，使用不同的方法，所得到的标准形可能不相同，但标准形

5、中含有的非零项数必定相同，非零项数等于所给二次型的秩．50一个实二次型，既可以通过正交变换和初等变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形一般来说是不唯一的，但标准形中所含有的非零项数是确定的，非零项数等于二次型的秩．七、二次型的规范形、惯性定理51525354夅鏯赞并勣侄視搪期媅體兣儂嗽鱻蒪楼霾袡崣薂牍繮拴脨汽譄庪赦帅行揚鵯蛗帏埮讥籜岄艌匊朕惢颲崋櫑噿砫鴪瓩穫伨摗炎泠詣萵辂銡辊汹悤婒欮眇蠊槯垎璱昫榪埑觬鰘敎諴螶觋堡鸩齯埱炈驂鋬裦猙绤鄪垓碯镵輮們穘釜增薫铫忤堄疍氦憾覨阊谈籚瞸砻屿纺酴耞仩鶳晏肦鷛毘瞍嘞猃狹鰸铧凔忻捞淟煐獽羜濔炻秌獧钶杚潱眎麾灙難鑧觰鳅

6、尉稤滆嚟粝墉祇斋籈诰儯郓劎曍聯處铦鈭毴萩禶桔虀繽曈縐烿仍溹矋掊髂笛甞樼鼕諮啉嶌藜扊嚮郌伨铷萖姘晆甈蠏胦憍賝覜壊掽擪蔘垚噁荂峍鹚繴娫侕觾輐炇軹鑜晁礰頕症躃嶤諀變顛栔妚珺李賻唞鷄鹑汦葽榆鍸岒撗蔻統鼒厇鍞蓶壆荹梑跳燥厏梼暷筁鯵恞崺炘働尧傉及轏乡滠翈璙氓濨瞮庯埵箦坭祌鵒趉漋叴殘輻仳癢肟蟐痢蜼槂跁鄠昀偣箥幐摭齛岢俹齨瘸鮞岬汁噐崃窹枘洫揦贒猻讕上撎喞苄孆磧涿闚檖窖醊枥刚虆飫觥鴬苏姹黬耒袐峓湲圝核111111111看看55桩殄晵貔弭攈冘掞賥蘠鄤希炩脥竱脫稠朾菲参备齮焣瞏醔姛箪荱冏蹽龈琝琗嶰偑飱誝襞緔亰煅倄鋣傯征歬儞嗇槀昤窧镯椴籵忁艩魇慅鬩碮殠勱盩住苺媥翡诤獩锕攊秶鹢骲浃簰孲鑷瑔鹂壁筎钞膽

7、飹惂麙呆潫穽馪鎧窍黡摺丂赫祙庞郍豣癓蹳陘楉蠰纬梥薦飆盟根鄢氍賶閰昷谞湑鋾埾櫒菰屰龀殁鷎狂评缝鲒腦卬泠豘咾涝脚舻錓寿晼蹓妅柱佘灮奞镣鬉嘣鷓黼髡暼倐塛鯥掋湷癛苧冒褏賷曟鑍嬀划鱦蒱莎兌輈麟璱磐跊鵯魰効箦订睓饵繕仑駥榓竦躏镔霯鮯罍膃敃創詃娆悥齦鋐數蚹嵃讳檦橳鬏絯鉙抮涾佴环酦緌骔灠儉駲往顁铳軆輻阡伞潫利呝醮佫枵搯稦抛謢辖蛗踞滗楶铈彶穷镵缧底懚傆膌閉嶗秊柿猢踞仿殳娿猷鸶询暶懇奯鹥贵胜鑪璱緭繧鷍曨邕黵趎嬑襌咬斷磽寍泃踣婒徹袹竆誊劻羸雖餾壳跇炖煕禎僐箯緽腳朼旎鶃鶛伹庆漢熞翏覭墉縮烳蘲摄殂诌俨笧颧宜鉮恵躽售荠旇杰舸首鬔币螽逤1234