§1 二次型及其矩阵表示、化二次型为标准形.ppt

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1、第六章二次型§1二次型及其矩阵表示化二次型为标准形§2正定二次型一、二次型的概念二、可逆线性变换§1二次型及其矩阵表示、化二次型为标准形三、矩阵的合同四、化二次型为标准形§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形解析几何中选择适当角度θ,逆时针旋转坐标轴(标准方程)中心与坐标原点重合的有心二次曲线问题的引入:§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形代数观点下作适当的可逆线性变换只含平方项的多项式二次齐次多项式(标准形)§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形一、二次型的概念称为n元二次型(或简称二次型)．①1、定义1含有n个变量的二次齐次函数§1

2、二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形注意2)式①也可写成1)为了计算和讨论的方便,式①中　　的系数写成§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形1）约定①中aij=aji，i

3、明在选定变量　　　　　下，二次型完全由对称矩阵A决定.)§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形例11）2元实二次型3）4元复二次型它们的矩阵分别是：2）3元实二次型§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形二、可逆线性变换1、定义2：是两组变量,关系式③称为由的一个线性变换;若系数行列式

4、cij

5、≠0,则称③为可逆线性变换.§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形.0它是可逆的.∵系数行列式例2解析几何中的坐标轴按逆时针方向旋转角度即变换§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形2、线性变换的矩阵表示则③可表示为x=Cy④若

6、C

7、≠0，则④为可逆

8、线性变换.注1）③或④为可逆线性变换可逆.2）若x＝Cy为可逆线性变换，则有可逆线性变换§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形即，B为对称矩阵.3、二次型经过可逆线性变换仍为二次型————————事实上，是一个　　　　　二次型.§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形三、矩阵的合同1）矩阵的合同具有对称性：传递性:即C1C2可逆.反身性:注:1、定义：设是两个n阶矩阵，若存在n阶可逆矩阵，使，则称A与B合同.§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形3）与对称矩阵合同的矩阵是对称矩阵.2）合同矩阵具有相同的秩.2、经过可逆线性变换，新二次型矩阵

9、与A与B合同.进而，有:C可逆原二次型矩阵是合同的.二次型可经可逆的线性变换化为二次型§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形四、化二次型为标准形二次型中非常简单的一种是只含平方项的二次型它的矩阵是对角阵?任意二次型能否经过适当的可逆线性变换化成平方和的形式？若能，如何作可逆线性变换？§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形1、用配方法化二次型为标准形定理1任一二次型都可以经过可逆线性变换化成标准形.定理2任一对称矩阵合同于一个对角矩阵.即　　　　，存在可逆矩阵，使为对角矩阵．§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形2、二次型的标准形的定义所变

10、成的平方和形式注：1）由定理1任一二次型的标准形是存在的.2）可应用配方法得到二次型的标准形.二次型经过可逆线性变换的一个标准形.称为§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形则解：作非退化线性替换例1、求的标准形.§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形则得标准形或再令所作的可逆线性变换是§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形3、用正交变换化二次型为标准形1）正交变换：如果线性变换x=Py的矩阵P是正交矩阵，则称之为正交变换.2）任一n元实二次型都可以通过正交变换化为标准形其中平方项的系数　　为A的全部特征值．§1二次型及其矩阵表示，化二次型

11、为标准形3)用正交变换化实二次型为标准形的步骤(i)写出的矩阵A；(ⅱ)求出正交矩阵P，使成对角形；(ⅲ)得出正交变换及标准形例2．用正交变换化二次型为标准形.§1二次型及其矩阵表示，化二次型为标准形