化二次型为标准形

《化二次型为标准形》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、辽东学院教案纸课程：高等代数第5.2.7页§2化二次型为标准形教学目的通过2学时的教学，使学生理解化二次型为标准形的定理及其矩阵形式，基本掌握化二次型为标准形的配平方法与矩阵合同变换方法．教学内容本节讨论用非退化的线性替换化简二次型的原理与方法．2.1配平方方法可以认为，二次型中最简单的形式是只包含平方项的二次型．(1)这一节的主要结果是定理5.2.1数域F上任意一个二次型都可以经过非退化的线性替换化成平方和(1)的形式．证下面的证明实际上是一个具体把二次型化成平方和的方法，其思路就是中学里学过的“配方法”．我们对文字的个数n作归纳法．当n=1时，二次型就是．已经是平方和了．现假定

2、对n-1元的二次型，定理的结论成立．再设．分三种情形来讨论．1)中至少有一个不为零，不妨设．这时，这里是的一个二次型．令辽东学院教案纸课程：高等代数第5.2.7页，这是一个非退化线性替换，它使．由归纳假定，对有非退化线性替换，能使它变成平方和．于是，非退化线性替换，就使变成，即变成平方和了．根据归纳法原理，定理得证．2)所有，但是至少有一，不妨设．令．它是非退化线性替换，且使，这时上式右端是的二次型，且的系数不为零，属于第一种情况，定理成立．辽东学院教案纸课程：高等代数第5.2.7页3)．由对称性，有．这时是n-1元二次型，根据归纳假定，它能用非退化线性替换变成平方和．综上，定理得

3、证．二次型经过非退化线性替换所化成的平方和称为的一个标准形．例1化二次型为标准形．解法1作非退化线性替换，则．再令则最后令则得其平方和将这几次线性替换的结果汇总，得．2.2矩阵合同变换方法定义1设A∈Mn(F)，若在F上对A施行一次列的初等变换，又对A施行一次相应的行的初等变换，则称对A施行一辽东学院教案纸课程：高等代数第5.2.7页对相应的初等变换或一次初等合同变换．不难发现，用矩阵论的语言定理5.2.1可以叙述为定理5.2.2若ÎMn(F)是对称矩阵，则可经过F上有限次相应的初等合同变换把A变为B=diag，(2)这里r=rankA．当r>0时，．因此存在F上n阶可逆矩阵P，使

4、得．证先对A的阶n用数学归纳法证明A≈B．当n=1时定理显然成立．今设n>1．若A=0，则A已是对角形式．设A¹０，我们分两种情形证明：1)设A的主对角线上元素不全为零，例如．若i¹1，则交换1、i两列，再交换第1、i两行，便把换到左上角．因此可不妨设．用乘A的第1列加到第j列，再用乘第1行加到第j行，便把A的(j，1)、(1，j)元素都变为0．注意A对称，=，故所作变换是一次初等合同变换．这样经过有限次相应初等合同变换，A便化为T=diag．根据初等矩阵与初等变换的关系，知A≈T．于是由A对称知道T也对称，因此n-1阶矩阵对称．现在对可用归纳假设：对施行有限次相应初等合同变换便可

5、将化为合符要求的对角阵．而的任一次相应初等合同变换显然与T的某一次相应初等合同变换效果是一致的．因而此况定理成立．2)若，由于A¹0，故必有某，把A的第j列加到第i列，再把第j行加第i行，所得矩阵的(i,i)元素为，再由情形1)也知结论成立．设是所作有限次相应初等合同变换的列变换所对应的初等矩阵．则．令，则，显然P是可逆阵．于是A≈B，且r=rankB=rankA．定理5.2.2给出了定理5.2.1的第二证明．定理5.2.2还给出了具体化简的方法：若，则．所以A经过一次一次初等合同变换化为B，经过一次一次相应列初等变换化为P．为了进一步简化计算，我们来证明定理5.2.3设A是F上的

6、n阶对称矩阵，若是有限个消法矩阵辽东学院教案纸课程：高等代数第5.2.7页的乘积，i>1，且使，其中是n-1维行向量，∈Mn-1(F)，则．证由假设，P是有限个的乘积，i>1．则用P右乘时，的第1列不变，变动的仅是的元素，所以有．但易知是对称矩阵，故β=0，所以．由定理5.2.3知道，只要能找到由有限个消法矩阵，i>j，其乘积使，（3）则这个的转置P就是要求的可逆矩阵，它使成为对角矩阵．换句话说，只要对(A，In)作有限次行的消法变换(相应初等矩阵为，i>j)，当把中的A化为上三角矩阵时，中的也就同时化为，且使diag．例2设，求可逆矩阵P，使为对角矩阵．解逐次用行消法变换(相应初

7、等矩阵为，i>j)，将化为(3)式的形式：辽东学院教案纸课程：高等代数第5.2.7页．于是，取，则diag(1,-2,0)．实际计算并不一定要把中的A化为标准的上三角矩阵，只需化为关于主对角线对称的每对元素中至少有一个为0即可，即i¹j，和中至少有一个是0就行．这是因为，再作相应的列变换，则可化为对角矩阵了．例如二次型的矩阵为，则．(4)于是，取，让X=PY，则．例1的解法2由于的矩阵是，需先对A作一次消法合同变换使得到的矩阵的主对角线上有非零元素，然后再按定理5.2