合同变换化二次型为标准形

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1、学术论坛S．—2013—NO．31cienceandTechnologylnnovationHerald团■■一圜瞄■崔婆■圈■一一-一r●●●●●●●●●f●●●●●●●L合同变换化二次型为标准形①刘雪梅(中国民航大学理学院天津300300)摘要：一个一般的二次型，利用非退化线性变换把它化为标准形对于我们研究几何问题是很重要的。该文给出了利用合同变换化二次型为标准形的方法，简化了化二次型为标准形的运算步骤，同时也给出了求所做非退化线性变换的方法。关键词：二次型合同变换非退化线性变换中图分类号：G64文献标识码：A文章编号：1674—098x

2、(2013)l1(a)一0211—021基本概念及引理施行一次初等行变换．相应的对施行一证明：A：A，由引理1．7，可经定义1．1设P是一个数域，一个系数在次相同的初等列变换，则称对施行了一次过一系列合同变换化为对角矩阵占，即数域P中的l，2，⋯，X的二次齐次多项合同变换。存在初等矩阵，，⋯，，，Q。，⋯，式厂l，，⋯，Xn)=lXl+2q2X1X2+⋯+引理1．6设二次型f(x，2，⋯，xn)=X'AX使得B=⋯Ql⋯，由2a1HlXn+a22X2+⋯+2a2n2Xn+···+annX，=，做非退化线性变换X：CY，则得引理1．8，有Qf=

3、(f=1，2，⋯，m)，于称为数域P上的一个，2元二次型，简称二到一个，，⋯，Y的二次型y留y，则矩阵是有B：QmQm—⋯Q1Ql⋯一Q，次型。令Q⋯QQ=C，则有B：C'AC，与B合同。定义1．2只含平方项的二次型由于C可逆，故与合同，由引理证明：见[1】。1．6，做非退化线性变换X=CY，则f(xl，X2，⋯，)=dl1+d22+·-·+dXn称引理1．7设为对称矩阵，则经过为二次型的标准形。f(xl，x2，⋯，)=X'AX=(CY)A(CY)=Y'C'ACY一系列合同变换可化为对角矩阵。对于二次型=Y'BY，又B为对角阵，故经过一系列合

4、同证明：用数学归纳法f(xl，X2，．一，)=qlxl。+2q2lX2+⋯+变换二次型厂，X2，⋯，)=XXX化为标当为一级矩阵时结论显然成立，假准形f(x】，2，⋯，)=Y'BY。2a2nX2x+⋯+nx令cl=asl，i

5、a2ia22⋯口2口2l2⋯2阵，则对单位阵做与相同的列变换所得nA=’=A=，的矩阵即为所求的非退化线性变换的矩阵】口2a"la2‘‘‘aC。定义1．3设，2，⋯，，Yl，Y2，⋯，Y不妨设，aI≠0(若口=0则总可以经过证明：由定理2．I的证明知是两组文字，系数在数域P中的一组关合同变换化为非零元素)，用all通过合C=Q。⋯QQm=EQ。⋯Q，于是对lCllYl+C12Y2+⋯+ClnYn同变换化ell2，a21，日l3·a31，⋯，al”，a”1为0，单位阵E施行与相同的列变换即可得到X2c21Yl+cvY2+⋯+C2月YH系式_C。

6、=c，．．．，“，，。=[：：：]结论：对于二次型f(x。，，⋯，)=XA'X=cyL+c2y2+⋯+Cnny，=，n做非退化线性变换=CY，化由l，2，⋯，到l，2，⋯，的一个线则矩阵变为【4一一“】，矩阵为标准形f(x1，2，⋯，)=Y'BY，其中Cl1C]2⋯Ch一一钮是一个("一1)×(n一1)对称矩阵，对角阵，把矩阵和E写成分块矩阵iJ】C21C22⋯C2对此分块矩阵施行合同变换，则把化为性变换，记C：由归纳假设知A．一a10【h可通过合同变换，对角阵的同时，E化为所求非退化线性变化为对角矩阵，从而A经过一系列合同变lc”2⋯C"换

7、可化为对角矩阵。换的矩阵C。=(xl，2，·一，)，Y=(Yl,Y2，⋯，Y)贝1J=述引理1．8设为对称矩阵，对施行例子：化二次型f(x，x2，⋯，x)=x{+关系式可表示为X：CY，称C为线性变换一次合同变换相当于左乘一初等矩阵P，2x}2+22+4x2+4为标准形，并写出所做的非退化线性变换的矩阵。的矩阵，若lCl≠0，则线性变换称为是非退右乘一初等矩阵Q，则有QP。证明：由合同变换及初等矩阵的定义易解：二次型f(x，Xz，⋯，)：X'AX，其化的。知。f1101定义1．4数域JD上的x力矩阵A，B，主要结果中l12I，把矩阵和写成分块

8、若存在数域P上的X可逆矩阵C，使定理2·1设二次型l厂(，：，⋯，)=X'AX矩阵得B=CC，则称A与B合同。，=A，则f(x，2，⋯，)=XXX一定可定义1．5设