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1、第六章二次型第一讲二次型及其矩阵表示、标准形教学目的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的基本概念及其矩阵表示方法.教学重点与难点：二次型的矩阵表示教学计划时数：2课时教学过程：一、二次型的概念定义1：含有个变量的二次齐次函数（1）称为二次型.附：1、当为复数时,称为复二次型；当为实数时,称为实二次型；2、可以等于0，即（1）式中的各项都存在.例1；都为实二次型；二、二次线性与对称矩阵在（1）式中,取,则令，则（1）式可化为称为二次型的矩阵形式，记为，其中实对称矩阵称为该二次型的矩阵.二次型称为实
2、对称矩阵的二次型.实对称矩阵的秩称为二次型的秩，即.例2二次型对应的实对称矩阵为反之,实对称矩阵所对应的二次型是三、合同矩阵定义2：关系式称为由变量到变量的线性变换，并简记为.其中系数矩阵称为线性变换矩阵.如果可逆，则称该线性变换为可逆线性变换.说明：对于一般二次型，问题：求可逆线性变换，将二次型化为标准形.将代入，得其中，是关于的二次型，对应的矩阵为.关于与的关系，我们给出下列定义.定义3：设,为两个阶矩阵,如果存在阶可逆矩阵,使得则称矩阵合同于矩阵,或称与合同.矩阵的合同的性质:1、反身性对任意方
3、阵,与合同.2、对称性若与合同，则与合同.3、传递性若与合同,且与合同则与合同.4、若为对称阵,则也为对称阵,且，即合同的两个矩阵的秩不变.四、标准形的定义定义4：只含有平方项的二次型：称为二次型的标准形(或法式).说明：二次型在可逆线性变换下,可化为.如果为对角矩阵则就可化为标准形：且其标准形中的系数恰好为对角矩阵的主对角线上的元素,因此上面的问题归结为能否合同于一个对角矩阵的问题.五、化二次型为标准形的方法我们要研究用可逆线性变换把二次型化为标准形的方法.1.用配方法化二次型为标准形定理1：任一二
4、次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.拉格朗日配方法的步骤是:(1)若二次型含有的平方项,则先把含有的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止,经过可逆线性变换,就得到标准形；(2)若二次型中不含有平方项,但是,则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型,然后再按(1)中方法配方.定理2：对任一实对称矩阵,存在可逆矩阵,使为对角矩阵.即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.例3化二次型为标准形，并求所用的变换矩阵.[解]令即或，则化为标准形：，所用变换矩阵为.例4
5、化二次型为标准形,并求所用的变换矩阵.[解]由于所给二次型中不含平方项,所以令代入中，可得令即或，则化为标准形：，且变换矩阵为，第二讲标准形的正交变换法、规范形的转化教学目的：通过本节的学习，使学生了解并掌握二次型的标准形与规范形的转化以及惯性定理.教学重点与难点：二次型的标准形与规范形的转化教学计划时数：2课时教学过程：上次课我们介绍了化二次型为标准形的方法之一（配方法），今天继续介绍化二次型为标准形的方法。一、化二次型为标准形的方法2.用初等变换化二次型为标准型（略）3.用正交变换化二次型为标准形
6、定理3：任给二次型总有正交变换（为正交矩阵），使化为标准形：其中是的矩阵的特征值.用正交变换化二次型为标准形的步骤：(1)将二次型表成矩阵形式，求出；(2)求出A的所有特征值；(3)求出属于各特征值的线性无关的特征向量；(4)将特征向量正交化、单位化,得；(5)记，作正交变换,则得的标准形例1：将二次型通过正交变换，化为标准形.[解]（1）写出对应的二次型矩阵：.（2）求的特征值：由得的特征值：.（3）求对应的特征向量：对于，解方程,由，得基础解系.对于，解方程,由，得基础解系.（4）将特征向量正交化
7、：取得正交向量组：.将其单位化得：，，.（5）作正交矩阵：令，则，且在此变换下，原二次型化为标准形：.二、惯性定理在化二次型为标准形的过程中,可逆线性变换不唯一，对应的标准形也不唯一，但标准形中非零系数个数是相等的，都等于二次型的秩.如果限定可逆线性变换为实变换，则二次型的标准形的正系数个数是不变的，从而负系数个数也是不变的，这就是下述的惯性定理.定理4（惯性定理）：设二次型且,有两个可逆线性变换及分别化二次型为标准形：，及，则中正数的个数与中正数的个数相等.定义1：二次型的标准形中正系数的个数称为二
8、次型的正惯性指数,负系数的个数称为二次型的负惯性指数,正惯性指数与负惯性指数的差称为二次型的符号差.显然，二次型的标准形中，非零系数的个数就是二次型的秩.如：,则的正惯性指数等于2,负惯性指数等于1,符号差等于1，.三、化二次型为规范形的方法定义2：将二次型的标准形如下形式给出：，其中通过如下的可逆线性变换则可将二次型化为…………………………………………（1）称（1）式为二次型的规范形.定理5:任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形，且规范形是由二次型
