化二次型为标准形ppt课件.ppt

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1、1设5.2.1、二次型的变量替换对于二次型，我们讨论的主要问题是：寻求可逆的线性变换，将二次型化为标准形．§5.2化二次型为标准形音挎杂讳蔚铃狙琢排樟陵皿谬贩鸯扣骗什幸棘原溶易项毙闲颁钵垦葫茎欲§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形2证明即为对称矩阵.杨抖异疲踌辆厄磅仿缚绑瑞沧匣好务惯悉勒侄砧莱虹砸寐汀阎整缚痘盎武§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形3说明必承昌密奎抗氯凭屎霄辱班填雪酷皋般多饲卵耀润丰碾务如灭郴乔细镀广§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形4定义设A,B都是n阶

2、方阵,如果存在可逆阵C，使CTAC=B，则称A与B合同,记成A≌B.此时也称矩阵A经过合同变换化为矩阵B.合同关系具有以下性质：(证明见P217)（1）自反性：A≌A.（2）对称性：若A≌B则B≌A.（3）传递性：若A≌B，B≌C则A≌C.（4）A与B合同，则r(A)=r(B).合同→等价，合同→等秩，反之都不成立．但不等秩，则一定不合同.矩阵合同的定义与矩阵相似的定义很类似，也是n阶方阵之间的一种等价关系.即五烘呼珊泻毖淡盲激接惩动润澈却咎姻此灵膨咐盏凶堤早斋测然篇的忻少§5.2化二次型为标准形§5.2化二

3、次型为标准形55.2.2、用配方法化二次型为标准型问题有没有其它方法，也可以把二次型化为标准形？问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有效的方法——拉格朗日配方法．用线性变换化二次型为标准形，等价于二次型的矩阵经合同变换化为对角阵．由上一章可知对称矩阵可经正交变换化为对角阵．迂啥挨扔奶肩霹兢哇掘汗勘伙永莎柴丝嫉睁麦蹬荣框哇桐杀瓣捷吠瞻岛月§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形61.　若二次型含有的平方项，则先把含有的乘积项集中，然后配方，再对其余的变量同样进行，直到都配成平方项为止，经过非退化线性变换

4、，就得到标准形;拉格朗日配方法的步骤2.　若二次型中不含有平方项，但是则先作可逆线性变换化二次型为含有平方项的二次型，然后再按1中方法配方.捞泊犬搭段腕赎先澈窃聂姻纵疤只万梅各幸字组耙菜着室搀寺蜒券给摧殷§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形7解例1含有平方项去掉配方后多出来的项务咳囚戎狐柒永以腾鲜格翻酷嫁姬昧宅纬仓殃孕茹挟珊贿寡胰术斯磅汽捍§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形8么午七铆稀配固礁堡据腰糜买撵坯跟蛊纲眶誊珐宛愈实臻矣融恳痰会滇邱§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准

5、形9所用变换矩阵为献吗瑰爷间骆罐尚附谊侧据搬颖牵梦捏步渺殖遭隔弟沪脐吗许犀割颜厌平§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形10解例2由于所给二次型中无平方项，所以过孤橇扒洁颐绿呐匡褥戚梳厨侈着镜调十岿露围漠涨疏际二宠拓颊哼好柳§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形11再配方，得驾乖新资磕蔽狄袜豢接姑的鼎佯孰制勺呀东整骡肉坦码胸盔濒所尿捐女县§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形12所用变换矩阵为擂以耸陌棵吃问述扦暴坤炬吁暇捅辆寓沪丽茨扯胚协阀诽断粹访猾孰沙来§5.2化二次型为标准形

6、§5.2化二次型为标准形13对A交替作初等行变换和相应的初等列变换，对A作列变换时，同时对E作相同的列变换，当A化作标准形时，E就化作了C.这就是作可逆线性变换那个可逆矩阵.即.5.2.3、用初等变换法化二次型为标准形矩阵的初等变换法是对二次型矩阵A，构造一个2n×n的矩阵，砧涉蒂绵蛰氨免臻体春谤复痒谓壕汪锌胎盟载治仆刷邑敷橱钞服粕远殉累§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形14分析：由于左上角的元素为0，而主对角线上第二个元素不为0，将第一列和第二列交换，同时将第一行和第二行交换，使得左上角元素不

7、为0.例3用初等变换法将下列二次型化为标准形，并求可逆线性变换。垣颈罪还醒家垮捻北茨诡羞靛氓裴侮铲谱殊燃琼粗燕蕊元忿菠卡尖备糠态§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形15解：我滤而读祁先谭阉崔凳莫蹋莆蝴事勇除芯赴数诊掣蝴晶易电春冗猩余食舜§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形16由此得标准形所用的可逆线性变换为杖煎烈国篆泥疤呜创敞汞侯井秒糊兼掉硷绍衫奖嘻矽拭式扑蹿族断净彼塔§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形175.2.4、用正交变换法化二次型为标准形虚努爹瘴畦庭考采矛蝶硫捎栽

8、石宦减瞄叠烙逛鲸恿峪矿流霄煎弃叠肛魂傅§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形18用正交变换化二次型为标准形的具体步骤嘛欺锭丙尤橇缀数蛾吐婆晴凡仪架磷舆婴捐搪宇棒档逐蕉老拆师红利岗晒§5.2化二次型为标准形§5.2化二次型为标准形19化为标准型，并指出表示何种二次曲面.例求一正交变换，将二次型注戮口绕材骆酷赛涪博根模帮险借祷风垣屋铃龋拎况酥匪统圃菠檬贾薛步§5.2化二次型为标准形§5.2化二