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时间:2020-09-17
《xx学年高一数学234《平面与平面垂直的性质》1课件(人教A版必修2).ppt》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.4平面与平面垂直的性质1.理解平面与平面垂直的性质定理.2.能应用面面垂直的性质定理证明空间中线、面的垂直关系.3.理解线线垂直、线面垂直、面面垂直的内在联系.在实际生活中,我们常遇到这样的问题:木匠师傅要在墙面上钉木条,怎样才能保证木条与地面垂直呢?我们知道墙与地面是垂直的,设交线为l,这时只需要将木条在墙面上与l垂直,就可以了.这是为什么?通过本节的学习,你将解开这一谜底.面面垂直的性质定理一个平面内交线a⊂αa⊥l线面垂直探究1:由线面垂直的性质定理,知垂直于同一个平面的两条直线平行,试问垂直于同一个平面的两个平面平行吗?
2、提示:可能平行,也可能相交.如图.α与δ平行,α与β相交.探究2:两个平面垂直,其中一个平面内的任一条直线与另一个平面一定垂直吗?提示:不一定.只有垂直于两平面的交线才能垂直于另一个平面.典例P是二面角αlβ内的一点(P∉α,P∉β),PA⊥α,PB⊥β,且∠APB=30°,求此二面角的大小.【错解】如图,过点A在α内作AD⊥l交l于点D,连接BD,PD.∵PA⊥α,∴PA⊥l.又∵AD⊥l,∴l⊥平面PAD,∴l⊥PD.又∵PB⊥β,∴PB⊥l,∴l⊥平面PBD,∴l⊥BD,∴∠ADB即为二面角αlβ的平面角,∴∠ADB=180°-∠
3、APB=150°,即二面角αlβ的大小为150°.【错因分析】错解中并没有证明P、A、D、B四点共面,故不能得出∠ADB=180°-∠APB,其原因在于作图方法不好,凭直觉处理问题.【正解】设相交直线PA、PB所确定的平面为γ,γ∩l=D,连接AD,BD.∵PA⊥α,PB⊥β,l⊂α,l⊂β,∴l⊥PA,l⊥PB.∴l⊥γ.又AD⊂α,BD⊂β,且γ∩l=D,AD⊂γ,BD⊂γ,∴l⊥AD,l⊥BD.∴∠ADB为二面角αlβ的平面角.由平面几何知识得P、A、D、B四点共圆.∵∠APB=30°,∴∠ADB=150°,即二面角αlβ的大小为
4、150°.易错补练 已知:α、β、γ是三个不同平面,α⊥γ,β⊥γ,α∩β=l.求证:l⊥γ.证明:证法一:设α∩γ=a,β∩γ=b,在γ内任取一点P,过P在γ内作直线m⊥a,n⊥b,如图.∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥α,n⊥β,又∵α∩β=l,∴m⊥l,n⊥l,∴l⊥γ.证法二:如图,α∩γ=a,β∩γ=b,在α内作m⊥a,在β内作n⊥b.∵α⊥γ,β⊥γ,∴m⊥γ,n⊥γ,∴m∥n.又∵n⊂β,m⊄β∴m∥β,又α∩β=l,m⊂α,∴m∥l,∴l⊥γ.证法三:在l上任取一点P,α∩γ=a,β∩γ=b,在α内作PQ⊥a于Q,在β内作PM⊥
5、b于M.∵α⊥γ,β⊥γ,∴PQ⊥γ,PM⊥γ,由过一点有且只有一条直线与平面垂直,∴PQ与PM重合.又PQ⊂α,PM⊂β,∴PQ、PM就是直线l.∴l⊥γ.1.直线与直线垂直的判断方法(1)用定义:如果两条直线所成的角是直角,那么这两条直线垂直.(2)用平行的性质:两条平行线中的一条垂直于第三条直线,那么另一条也垂直于这条直线.(3)用线面垂直的性质:一条直线垂直于一个平面.那么这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(4)用平面几何的知识:等腰三角形底边上的中线或顶角平分线垂直于底边;矩形的邻边垂直;菱形的对角线垂直等等.2.直线与平面
6、垂直的判断方法(1)用线面垂直定义:如果一条直线垂直于一个平面内任一直线,这条直线垂直于该平面.(2)用线面垂直判定定理:如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线与平面垂直.(3)用线面垂直性质:如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面,则另一条直线也必垂直于这个平面.(4)用面面垂直性质定理:如果两个平面互相垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面.(5)用面面平行性质:如果一条直线垂直于两个平行平面的一个平面,那么这条直线必垂直于另一个平面.(6)用面面垂直性质:如果两个相交平面同时垂直于第三个平面
7、,那么这两个相交平面的交线必垂直于第三个平面.这六种判定线面垂直的方法的实质是转化与化归数学思想的体现,它们是线线、线面、面面垂直的相互转化.3.平面与平面垂直的判断方法(1)用定义:证明这两个平面所成的二面角是直二面角.(2)用判定定理:如果一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面互相垂直.(3)用面面平行的性质:两个平行平面中的一个平面垂直于第三个平面,则另一个平面也垂直于第三个平面.1.平面α⊥平面β,直线l⊂α,直线m⊂β,则直线l,m的位置关系是()A.相交B.平行C.异面D.以上都有可能解析:根据题意,l,m可能相交
8、、平行或异面.答案:D2.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,点A∈α,A∉l,直线AB∥l,直线AC⊥l,直线m∥α,m∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是()A.AB∥mB.AC⊥mC.AB∥βD.A
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