xx学年高一数学234《平面与平面垂直的性质》2课件（人教A版必修2）.ppt

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1、2．3.4平面与平面垂直的性质要点一平面与平面垂直的性质的应用在运用面面垂直性质定理时必须注意：(1)线在面内；(2)线垂直于两面的交线，由此才可以得出线面垂直．在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时，在善于运用转化思想的同时，还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件．例1如下图所示，P是四边形ABCD所在平面外的一点，ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形．侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.(1)若G为AD边的中点，求证：BG⊥平面PAD；(2)求证：AD⊥PB.【分析】①ABCD是边长为a的菱形；②面PAD⊥面ABCD.解答本

2、题可先由面⊥面得线⊥面，再进一步得出线⊥线．【证明】(1)连接PG，由题知△PAD为正三角形，G是AD的中点，∴PG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，∴PG⊥平面ABCD，∴PG⊥BG.又∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°，∴△ABD是正三角形，∴BG⊥AD.又AD∩PG＝G，∴BG⊥平面PAD.(2)由(1)可知BG⊥AD，PG⊥AD.所以AD⊥平面PBG，所以AD⊥PB.【规律方法】证明线面垂直，一种方法是利用线面垂直的判定定理，再一种方法是利用面面垂直的性质定理，本题已知面面垂直，故可考虑面面垂直的性质定理．变式1如图所示，α⊥β，CD⊂β，CD

3、⊥AB，CE、EF⊂α，∠FEC＝90°，求证：面EFD⊥面DCE.证明：∵α⊥β，CD⊂β，CD⊥AB，α∩β＝AB，∴CD⊥α.又∵EF⊂α，∴CD⊥EF.又∠FEC＝90°，∴EF⊥EC.又EC∩CD＝C，∴EF⊥面DCE.又EF⊂面EFD，∴面EFD⊥面DCE.例2已知：如图，平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，AE⊥平面PBC，E为垂足．(1)求证：PA⊥平面ABC；(2)当E为△PBC的垂心时，求证：△ABC是直角三角形．【分析】　由面面垂直向线面垂直转化，一般要作一条垂直于交线的直线，才能应用性质定理．【证明】(1)在平面ABC内取一

4、点D，作DF⊥AC于F，∵平面PAC⊥平面ABC，且交线为AC，∴DF⊥平面PAC.又∵PA⊂平面PAC，∴DF⊥PA.作DG⊥AB于G，同理可证DG⊥PA.∵DG∩DF＝D，∴PA⊥平面ABC.(2)连接BE并延长交PC于H.∵E是△PBC的垂心，∴PC⊥BH，又AE⊥平面PBC，故AE⊥PC，且AE∩BE＝E，∴PC⊥平面ABE.∴PC⊥AB.又∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，且PA∩PC＝P，∴AB⊥平面PAC，∴AB⊥AC，即△ABC是直角三角形．【规律方法】　已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质定理可得此直线垂

5、直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得到结论：两个相交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面．证明(2)题的关键是要灵活利用(1)题的结论．变式2如图，已知平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩γ＝a，β∩γ＝b，且a∥b.求证：α∥β.证明：如图，在平面α内作直线PQ⊥a，在平面β内作直线MN⊥b，垂足分别为Q、N.∵α⊥γ，α∩γ＝a，∴PQ⊥γ.同理MN⊥γ.∴PQ∥MN.∵PQ⊄β，MN⊂β，∴PQ∥β.同理a∥β.∵PQ⊂α，a⊂α，PQ∩a＝Q，∴α∥β.要点二线线、线面、面面垂直的综合应用在关于垂直问题的论证中要注意线

6、线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化，每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：例3如图，在四棱锥P－ABCD中，侧面PAD是正三角形，且与底面ABCD垂直，底面ABCD是边长为2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中点，过A、D、N三点的平面交PC于M，E为AD的中点．求证：(1)EN∥平面PDC；(2)BC⊥平面PEB；(3)平面PBC⊥平面ADMN.【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明，证EN∥DM.(2)先证AD⊥平面PEB，再由AD∥BC证明．(3)转化为证明PB⊥平面ADMN.【证明】(1)∵AD∥BC，BC

7、⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC.又平面ADMN∩平面PBC＝MN，∴AD∥MN.又∵BC∥AD，∴MN∥BC.又N是PB的中点，∴点M为PC的中点．(2)∵四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵侧面PAD是正三角形，且E为中点，∴PE⊥AD，∴AD⊥平面PBE.又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.(3)由(2)知AD⊥平面PBE.又PB⊂平面PBE，∴AD⊥PB.又∵PA＝AB，N为PB的中点，∴AN⊥PB.且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.又∵PB⊂平面PBC.∴平面PBC⊥平面ADMN.【规律方法】

8、　运用平面垂直的性质定理时，一般需作辅