二重积分概念 ppt课件.ppt

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1、第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质第十章（按积分区域分类）积分区域积分区域定积分二重积分三重积分D曲线积分曲面积分一型：对弧长二型：对坐标一型：对面积二型：对坐标Stokes公式高斯公式格林公式1.多元函数积分学概况推广推广推广推广概况重积分二重积分三重积分二次积分三次积分两个定积分三个定积分三个定积分重积分与定积分有类似的性质。本章重点：重积分的计算！一个二重积分一个定积分解法:类似定积分的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶

2、柱体:底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面，求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”机动目录上页下页返回结束x0zy..元素法1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整yxoy=f(x)ab..分法越细，越接近精确值回顾：曲边梯形的面积f(i).元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细.ab...分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整1.曲边梯形的面积.f(i)元素法4取极限yxoy=f(x)令分法无限变细....分法越细，越接近精确值1化整为零2以直代曲(以常代变)3积零为整1.曲边梯形的面积.f(

3、i)S=.S.abx0zyDSS:z=f(x,y)元素法1任意分割区域D,化整为零2以平代曲曲顶柱体的体积ix0zyDS:z=f(x,y)3积零为整2以平代曲元素法1任意分割区域D,化整为零曲顶柱体的体积.ix0zyDS:z=f(x,y)3积零为整4取极限令分法无限变细i2以平代曲元素法1任意分割区域D,化整为零曲顶柱体的体积.V=x0zyD.S:z=f(x,y)3积零为整4取极限令分法无限变细2以平代曲元素法1任意分割区域D,化整为零曲顶柱体的体积V=x0zyS:z=f(x,y)3积零为整4取极限令分法无限变细V2以平代曲元素法1任意分割区域D,化整为零.曲顶柱体的体

4、积.V=2.平面薄片的质量（若面密度为常数，质量=面密度·面积）有一个平面薄片,在xoy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分

5、成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.机动目录上页下页返回结束则在D上可三、二重积分的性质(八个性质）(k

6、为常数)为D的面积,则机动目录上页下页返回结束特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束例2.判断积分的正负号.解:分积分域为则原式=猜想结果为负但不好估计.因为是负，先不考虑此项机动目录上页下页返回结束例3.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96

7、I2D机动目录上页下页返回结束8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动目录上页下页返回结束四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动目录上页下页返回结束同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算机动目录上页下页返回结束例4.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利