《D911二重积分概念》PPT课件

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1、第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算机动目录上页下页返回结束二重积分的概念与性质第九章柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、引例步骤如下：用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，先分割曲顶柱体的底，并取典型小区域，曲顶柱体的体积２．求平面薄片的质量将薄片分割成若干小块，取典型小块，将其近似看作均匀薄片，所有小块质量之和近似等于薄片总质量二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域

2、任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限个光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.机动目录上页下页返回结束三、二重积分的性质(k为常

3、数)为D的面积,则机动目录上页下页返回结束特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束例2.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,

4、函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有机动目录上页下页返回结束四、曲顶柱体体积的计算设曲顶柱的底为任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动目录上页下页返回结束同样,曲顶柱的底为则其体积可按如下两次积分计算机动目录上页下页返回结束例3.求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动目录上页下页返回结束内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法机动目录上页下

5、页返回结束*三、二重积分的换元法第二节一、利用直角坐标计算二重积分二、利用极坐标计算二重积分机动目录上页下页返回结束二重积分的计算法第九章如果积分区域为：其中函数、在区间上连续.一、利用直角坐标系计算二重积分［X－型］应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,得如果积分区域为：［Y－型］X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.说明:(1)若积分区域既是X–型区域又是Y–型区域,为计算方

6、便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则机动目录上页下页返回结束例1.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X–型区域,则解法2.将D看作Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束例2.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则机动目录上页下页返回结束例3.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X–型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.机动目录上页下页返回结束例4.交换下列

7、积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y–型区域,则机动目录上页下页返回结束例5.计算其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,机动目录上页下页返回结束被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

8、节目录上页下页返回结束作业备用题1.估计的值,其中D为解:被积函数D的面积的最大