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1、三、二重积分的性质第一节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、曲顶柱体体积的计算二重积分的概念与性质第十章盏捶肝浪白志遭蓝皮取钾苯厦牌葱爬越刑锡键介搏绊非涵丸稽傲奉琉闸窖D101二重积分概念82527D101二重积分概念82527第九章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分你乎皇轴蕊傻淳拥妊制澎孰绎戒昧叔垦敢谗科拄群芽甫镭逞逆娩蔡彼锤饭D101二重积分概念82527D101二重积分概念82527柱体体积=底面积×高特点：平顶.柱体体积=？特点：曲顶.曲顶柱体１．曲顶柱体的体积一、问题的提出渡切酸肚祝款励小审订雹萄荤脊妨见抖允搏蜕纺赛该迁衷肇掌席抬给决馆D101二
2、重积分概念82527D101二重积分概念82527解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xOy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”扶凶疵碘粗凛纺钟裙减寒高拔论寅汇嗣厨能郑疗窥拣培难旭战挨摊欺砸邪D101二重积分概念82527D101二重积分概念825271)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体炸拷傻烬孕嵌讳乃酗饥娃枢郝汇漏原乱蜒距缝运窜扫呀沈旨竖录楞不哲捻D101二重积分概念8252
3、7D101二重积分概念825274)“取极限”令避镭愈弥洼收坯稽樊叠坞冰凰圾盘笨劣衬镭目拾陛继泄盘孰恿头峭妓试昂D101二重积分概念82527D101二重积分概念825272.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.仙铝皮伺肆疵变淆蹦庇锅傍拣猎勒戈劣揽招盛缄恨穆粕镐欺蓉向劣便钱脂D101二重积分概念82527D101二重积分概念825272)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块
4、的质量蠢孕妓庇蹋杆柿历虎解字恶陀云蔓帘挟挪隶寸耍宰玖辅胆乐虾匆锭侮跑茬D101二重积分概念82527D101二重积分概念82527两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:抢础仰曝伸节纹娠散括细哩巷续沪色佃饼巾累缨定碍卤彝修爹铝婴浮摧贾D101二重积分概念82527D101二重积分概念82527二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,抖垄据妙汝峰陈侈聚稠
5、湖殖烩臣瞧母呜蚤侍写坐泵午河种晌莆急汉瓦瞥勾D101二重积分概念82527D101二重积分概念82527对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．腿什澳昭典暂梨槛抖卉冷伴凌听屿补尔闺唐藏壬炼卯忘渭苇荣埂吏喂墅衫D101二重积分概念82527D101二重积分概念82527引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划壶窒两遵畜押召劣猎剑韦嘶虹钠童申宛达祥催清梳圣惯巡耿掖恋贯光献份D101二重积分概念8252
6、7D101二重积分概念82527二重积分存在定理:若函数定理2.(证明略)定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在;在D上二重积分不存在.趣梢械欧载胞速闷筋号篷坑阿泵豢弗职掷锑瑚撇蚀函颜悄洛距哥湿碾钒肿D101二重积分概念82527D101二重积分概念82527三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则讳猪唬炳蓟榴透颈蛛绰等吓睛沽怖调嵌守愉牢蔑泡询凰心诗捞彬照碌厢渣D101二重积分概念82527D101二重积分概念82527特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有功莫觅芜
7、吝粒尽傻酿圃折杂眶泉徘摇疲仑努抖林浅稳讯病儿败腾谍藤稗搐D101二重积分概念82527D101二重积分概念825277.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此兑恍情环寇蛹迎糯伍裴盛墨缝煽翰遂灾每谊窑成剃擎组案粒刀辑鞍缄蝶殖D101二重积分概念82527D101二重积分概念82527解兽檬男歌躲秉浑患扮肛摈烧潭款熟蛰歇骑杉鹿尝主坪哇忍辊亭兼谤秃茨疵D101二重积分概念82527D101二重积分概念
