D101二重积分概念z

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1、第十章一元函数积分学多元函数积分学重积分曲线积分曲面积分重积分三、二重积分的性质第一节一、问题的提出二、二重积分的概念二重积分的概念与性质第十章机动目录上页下页返回结束解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xOy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令2.平面薄片的

2、质量有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的概念定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和

3、积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划对二重积分定义的说明：二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，是柱体的体积的负值．一般地，是有向体积．思考:教材P136第2题三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则机动目录上页下页返回结束（——与定积分有类似的性质）特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有机

4、动目录上页下页返回结束（二重积分估值不等式）7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面积,则至少存在一点使使连续,因此机动目录上页下页返回结束注：在求有二重积分参与的极限时常用到此定理。例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束例2.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D机动目录上页下页返回结束补充性质8（对称性）（以下假设f(x

5、,y)在积分区域D上连续，并记I＝）1、若D关于x轴对称，f(x,y)关于y是奇函数,则I＝0；若D关于x轴对称，f(x,y)关于y是偶函数(f(x,-y)=f(x,y)),则I＝。2、若D关于y轴对称，f(x,y)关于x是奇函数,则I＝0若D关于y轴对称，f(x,y)关于x是偶函数,则I＝。注：在运用对称性时要兼顾被积函数和积分区域两个方面，不可误用在第一象限部分,则有性质9（积分变量的轮换不变性）若积分区域D关于直线y=x对称，则说明：性质8、9可化简重积分计算。轮换不变性是多元函数积分所独有的性质例3.计算

6、其中D由所围成.解:令(如图所示)显然,内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)机动目录上页下页返回结束被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

7、积的最大值的最小值机动目录上页下页返回结束2.判断的正负.解：当时，故又当时，于是机动目录上页下页返回结束