二重积分概念课件.ppt

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1、第九章第一节二重积分的概念与性质第二节二重积分的计算机动目录上页下页返回结束重积分第九章解法:类似定积分“四步法则”一、引例1.求曲顶柱体的体积底：xoy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面。“大化小,常代变,近似和,求极限”机动目录上页下页返回结束第一节二重积分的概念与性质1)对区域D作任意分划——“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体机动目录上页下页返回结束4)“取极限”令机动目录上页下页返回结束2.求平面薄片的质量有一个平面薄片,在xoy平面

2、上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的面积为,则若非常数,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小区域.机动目录上页下页返回结束2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量机动目录上页下页返回结束两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:机动目录上页下页返回结束二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和

3、积分域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,机动目录上页下页返回结束引例1中曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,也常二重积分记作这时分区域D,因此面积元素可用平行坐标轴的直线来划记作机动目录上页下页返回结束二重积分存在定理若函数(证明略)定理1.在D上可积.在有界闭区域D上连续,则有界闭区域D上除去有限个点或有限个光滑曲线外都机动目录上页下页返回结束或在连续,二重积分的几何意义当时，曲顶柱体体积当符号不定时，各部分曲顶柱体体积的“代数和”三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则机动目录上页下页返回结束特别,由于则5

4、.若在D上6.设D的面积为,则有机动目录上页下页返回结束7.(二重积分的中值定理)以上性质的证明自学在闭区域D为D的面积,则至少存在一点使上连续,机动目录上页下页返回结束例1比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上机动目录上页下页返回结束例2判断积分的正负号.解:原式=机动目录上页下页返回结束例3估计下列积分之值X－型积分区域第二节二重积分计算法Y－型积分区域X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于

5、两个交点.若区域如图，在分割后的三个区域上分别使用积分公式则必须分割.设积分区域D为X－型任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的机动目录上页下页返回结束例1计算，D由直线y=1,x=2,y=x围成。计算，例2D是以(0,0),(0,1)(1,0),(1,2)为顶点的梯形区域。例3计算，D是以(0,0),(0,1)(1,1)为顶点的三角形区域。例4计算，D由直线y=x-2和抛物线y2=x围成。例5改变积分的次序。解：积分区域如图练习1：改变积分的次序。二重积分计算步骤：1.画出积分区域草图；2.选择适当的积分顺序和积分方法；3.确定积分上下限；4.计算出结果。解

6、：原式解：解：解：例9求两个底圆半径为R的直角圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为机动目录上页下页返回结束内容小结1.二重积分的定义2.二重积分的性质(与定积分性质相似)3.曲顶柱体体积的计算二次积分法机动目录上页下页返回结束被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:机动目录上页下页返回结束2.设D是第二象限的一个有界闭域,且0

7、其中D为解:利用题中x,y位置的对称性,有又D的面积为1,故结论成立.机动目录上页下页返回结束P782，4，5P951(1),8第二节目录上页下页返回结束作业备用题1.估计的值,其中D为解:被积函数D的面积的最大值的最小值机动目录上页下页返回结束2.判断的正负.解：当时，故又当时，于是机动目录上页下页返回结束解：曲面围成的立体如图.