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1、三、二重积分的性质第八节一、引例二、二重积分的定义与可积性四、二重积分的直角坐标计算法二重积分第十一章解法:类似定积分解决问题的思想:一、引例1.曲顶柱体的体积给定曲顶柱体:底：xOy面上的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面求其体积.“大化小,常代变,近似和,求极限”1)“大化小”用任意曲线网分D为n个区域以它们为底把曲顶柱体分为n个2)“常代变”在每个3)“近似和”则中任取一点小曲顶柱体4)“取极限”令2.平面薄片的质量有一个平面薄片,在xOy平面上占有区域D,计算该薄片的质量M.度为设D的
2、面积为,则若是变量,仍可用其面密“大化小,常代变,近似和,求极限”解决.1)“大化小”用任意曲线网分D为n个小区域相应把薄片也分为小块.2)“常代变”中任取一点3)“近似和”4)“取极限”则第k小块的质量两个问题的共性：(1)解决问题的步骤相同(2)所求量的结构式相同“大化小,常代变,近似和,取极限”曲顶柱体体积:平面薄片的质量:二、二重积分的定义及可积性定义:将区域D任意分成n个小区域任取一点若存在一个常数I,使可积,在D上的二重积分.积分和积分区域被积函数积分表达式面积元素记作是定义在有界区域D上的有界函数,引例1中
3、曲顶柱体体积:引例2中平面薄板的质量:如果在D上可积,元素d也常记作二重积分记作这时分区域D,因此面积可用平行坐标轴的直线来划二重积分存在定理:若函数定理2.定理1.在D上可积.限个点或有限条光滑曲线外都连续,积.在有界闭区域D上连续,则若有界函数在有界闭区域D上除去有例如,在D:上二重积分存在二重积分几何意义:和定积分的几何意义类似三、二重积分的性质(k为常数)为D的面积,则特别,由于则5.若在D上6.设D的面积为,则有7.(二重积分的中值定理)证:由性质6可知,由连续函数介值定理,至少有一点在闭区域D上为D的面
4、积,则至少存在一点使使连续,因此例1.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它在与x轴的交点(1,0)处与直线从而而域D位于直线的上方,故在D上例2.估计下列积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D8.设函数D位于x轴上方的部分为D1,当区域关于y轴对称,函数关于变量x有奇偶性时,仍在D上在闭区域上连续,域D关于x轴对称,则则有类似结果.在第一象限部分,则有四、二重积分的直角坐标计算法设曲顶柱的底为X-型区域任取平面故曲顶柱体体积为截面积为截柱体的记作同样,曲顶柱体的底为Y-型区域则其体积可按如
5、下两次积分计算记作说明:(1)若积分区域既是X-型区域又是Y-型区域,为计算方便,可选择积分序,必要时还可以交换积分序.则有(2)若积分域较复杂,可将它分成若干X-型域或Y-型域,则例3.计算其中D是直线y＝1,x＝2,及y＝x所围的闭区域.解法1.将D看作X-型区域,则解法2.将D看作Y-型区域,则例4.计算其中D是抛物线所围成的闭区域.解:为计算简便,先对x后对y积分,及直线则例5.计算其中D是直线所围成的闭区域.解:由被积函数可知,因此取D为X-型域:先对x积分不行,说明:有些二次积分为了积分方便,还需交换积分顺序.
6、例6.交换下列积分顺序解:积分域由两部分组成:视为Y-型区域,则例7.求两个底圆半径为R的直交圆柱面所围的体积.解:设两个直圆柱方程为利用对称性,考虑第一卦限部分,其曲顶柱体的顶为则所求体积为被积函数相同,且非负,思考与练习解:由它们的积分域范围可知1.比较下列积分值的大小关系:2.计算其中D由所围成.解:令积分区域关于3.计算解:
