《二重积分的概念》ppt课件

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1、第二十一章重积分§1二重积分概念(一)教学目的：掌握二重积分的定义和性质．(二)教学内容：二重积分的定义和性质．(1)基本要求：掌握二重积分的定义和性质，二重积分的充要条件，了解有界闭区域上的连续函数的可积性．(2)较高要求：平面点集可求面积的充要条件．平面图形的面积二重积分的定义及其存在性二重积分的性质一、平面图形的面积设有界平面图形P存在矩形R使得用平行于坐标轴的直线网T分割这个图形记为记为显然有记称为P的内面积.称为P的外面积.定义1若平面图形P的内面积等于它的外面积，则称P为可求面积，并称其内、外面积的

2、共同值为P的面积.定理21.1平面有界图形P可求面积的充要条件是：总存在直线网T，使得推论平面有界图形P的面积为零的充要条件是它的外面积定理21.2平面有界图形P可求面积的充要条件是：P的边界的面积为零.定理21.3若曲线K为[a,b]上连续函数f的图象，则曲线K的面积为零.由参数方程表示的平面光滑曲线，其面积一定为零.因此，若平面有界图形P的边界是由参数方程所表示的平面光滑曲线，则P一定可求面积.二、二重积分的定义及其存在性1.曲顶柱体的体积求以曲面z=f(x,y)为顶，D为底的曲顶柱体的体积V底：xoy面上

3、的闭区域D顶:连续曲面侧面：以D的边界为准线,母线平行于z轴的柱面直柱体的体积=底面积×高这里我们又面临着与求曲边梯形面积类似高度的不变与变的矛盾的矛盾：因此用与求曲边梯形面积类似的方法：分割、近似代替、求和、取极限分割：把D任意的分成n个可求面积的小区域用表示小区域的面积以每个小区域准线，作母线平行于z轴的的边界为柱面，把曲顶柱体分割成n近似代替：个小曲顶柱体求和：取极限2。二重积分的定义及可积性是定义在可求面积的有界区域D上的函数,将区域D任意分成n个小区域以表示小区域的面积，一个分割T，称这些小区域构成D

4、的为分割T的细度，任取一点作和称它为f在D上属于分割T的一个积分和.若极限在D上可积，并称此极限为存在，则称在D上的二重积分，记为当时，二重积分在几何上表示以为曲顶，D为底的曲顶柱体的体积.当时，二重积分值等于积分区域D的面积.引例中曲顶柱体体积:由二重积分的定义知道，若在D上可积，则对任何分割，极限都存在且相等.因此为方便计算，常选一些特殊的分割，如选用平行于坐标轴的直线网来分割D,那么每一小区域一般是小矩形，其面积此时通常把记为也常记作因此面积元素在有界可求面积区域D上可积的必要条件是它在D上有界.设在D上

5、有界，T为D的一个分割，它把D分成n个可求面积的小区域令和式分别称为关于分割T的上和与下和.可积条件定理21.4在D上可积的充要条件是：定理21.5在D上可积的充要条件是：存在D的某个分割，使得定理21.6有界闭区域D上的连续函数必可积.定理21.7设是定义在有界闭区域D上的有界函数.若的不连续点都落在有限条光滑曲线上，则在D上可积.(k为常数)三、二重积分的性质特别,由于则4.若在D上6.设这里SD是积分区域D的面积.则有5.所以7.(二重积分的中值定理)若在闭区域则至少存在一点使D上连续,这里SD是积分区域

6、D的面积.例.比较下列积分的大小:其中解:积分域D的边界为圆周它与x轴交于点(1,0),而域D位从而于直线的上方,故在D上例.应用中值定理估计积分之值解:D的面积为由于积分性质5即:1.96I2D