西南大学网络作业__中学代数研究.doc

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1、中学代数研究1、证明勿与上的和是无理数。3llr（反证法）假如〃与L的和是一个有理数a,即a=71+-,则a--=7T0因为全体333有理数成为一个域，对减法运算封闭，所以差a--仍是有理数。此与勿是无理数矛盾，所3以）与上的和是无理数。321、在MBC+，a,b,c为角人所对的边，求证心+网+七生a+b+c3（提示：可用排序不等式证明）解：不妨设abA+cB+aC,aA+bB+cC>cA+aB+bC,又。*--bB+cC=aA+bB+cC,三式相力II得，3（aA+bB+cC）>（a+b+cXA+B+C）=7F（a+b+c）,即aA+bB+c

2、C、兀、十山>—证毕。a+b+c322203、设a,b,c为正数且各不相等，求证：——+——+——>a+bb+cc+aa+b+c（提示：可用柯酉不等式证明）证：待证不等式化为（+^+^—）x2（“+b+c）Z9,根据柯西不等式，左端a+bb+cc+a=(——+——+——)[(q+0)+(0+c)+(c+q)]2(1+1+1)2=9又a,b,c各不相等,a+hb+cc+a因此等号不成立。原不等式得证。填空题1、在代数发展史中，根据代数所研究的数学对象的不同，可将代数分为与O2、中国传统的中学代数体系，主要内容有：3、在中学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的

3、・4、布尔巳基学派认为数学有三种基本的结构:5、自然数公理系统直接地保证了的合理性。6、自然数有两种属性，•是属性，一是属性。7、有理数集是一个可数集，就是说它能与自然数集建立关系。8、任意两个不同的有理数之间，均存在一个有理数，这说明有理数集具有。9、无理数有三种不同的定义方法：，10、复数的棣莫弗公式旗。填空答案1、古典代数，近世代数2、数和数系，方程，函数，不等式，数列3、直观理解4、代数结构，序结构，拓扑结构5、数学归纳法6、基数，序数7、一一对应8、稠密性9、无穷小数说，康托的基本序列说，戴德金分割说10＞复数的棣莫弗公式为:(coso+isin仞)”=cos〃伊+isin〃91

4、、请举例解释有理数集虽然是稠密的，但不具有完备性(或连续性)。答：一个数集是完备的是指，对于任意该数集的序列，如果有极限存在，则该极限一定属于该数集。但对有理数列1,1+才，1+=+£...1+才+[+・・・4,…，它的极限为e不是有理数，故有理数集具有不完备性。2、怎样科学的描述无理数籍3”。答:用有理数区间套/产炉钊/2=[3L4,3L5J匕=[3皿"小]…等来描述。2、证明任何一个有理数的平方都不等于5?孙子定理：设m是n个两两互素的正整数，％,缶,a是任意给定的整数，那么一元同余式组x=a}(modm})x=(72(mod/n2)x=o〃(modm〃)必有一解，且解数为1。孙子定理

5、的解法原则或证明是通过先构造“单因子构件”，然后凑出结果所要求得的构件。这一原则在插值理论、算子理论中都有体现。比如拉格朗tl插值理论就体现了这一原则。3、试用柯西不等式求平面上一点到一直线的距离公式3、试用柯西不等式求平面上点P(xo,yo)到直线Ax+By+c=0的距离公式。答：由柯西不等式，有(A?+B2)[(x-x0)2+(y-jj0)2]>[A(x-尤。)+8(y-)")]~=[(Ax+By)-(Ax0+ByQ)]~因为Ax+By=—C,M+B2〉0,故有，](/_易)2+()，_无)2七+C

6、J/P+B2证明题1、求(1+0"答；可用棣莫佛公式求解，得(1+z)11=V^’(c

7、os生+isin生)n=32a/2(cos—+isin—)=-32+32z44442、证2、证明(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.并给出儿何意义。答:(a2+b2Jc2+d-}=a~c~+a~d2+b2c2+b~d2={ac+bd^+{ad-bcf>(ac+bd)2儿何意义可用向量，也可用平面三的形余弦定理解释。3、数列为一给定的有限数列，试给出数列的通项公式。答：可用拉格朗日插值法易得（参见教材133页）。