西南大学线性代数作业答案

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1、第一次行列式部分的填空题1．在5阶行列式中，项a13a24a32a45a51前的符号应取+号。2．排列45312的逆序数为5。3．行列式中元素x的代数余子式是　8　．4．行列式中元素-2的代数余子式是—11。5．行列式中，的代数余子式是—5。6．计算=0行列式部分计算题1．计算三阶行列式解：原式=2×（—4）×3+0×（—1）×（—1）+1×1×8—1×（—1）×（—4）—0×1×3—2×（—1）×8=—42．决定i和j，使排列1234i6j97为奇排列.解：i=8，j=5。3．(7分)已知，求的值．解

2、：原式=3x2—x2—4x=2x2—4x=2x(x—2)=0解得：x1=0；x2=2所以x={x│x≠0；x≠2x∈R}4．(8分)齐次线性方程组有非零解，求。解：由D=0得λ=15．用克莱姆法则求下列方程组：解：因为所以方程组有唯一解，再计算：因此，根据克拉默法则，方程组的唯一解是：x=27，y=36，z=—45第二次线性方程组部分填空题1．设齐次线性方程组Ax=0的系数阵A的秩为r，当r=n时，则Ax=0只有零解；当Ax=0有无穷多解时，其基础解系含有解向量的个数为n-r.2．设η1，η2为方程组A

3、x=b的两个解，则η1－η2或η2－η1是其导出方程组的解。3．设α0是线性方程组Ax=b的一个固定解，设z是导出方程组的某个解，则线性方程组Ax=b的任意一个解β可表示为β=α0+z.4．若n元线性方程组Ax=b有解，R（A）=r，则当[r=n时，有惟一解；当,r＜n时，有无穷多解。5．A是m×n矩阵，齐次线性方程组Ax=0有非零解的充要条件是R（A）＜n.6．n元齐次线性方程组Ax=0仅有零解的充分必要条件是

4、A

5、不等于0。7线性方程组Ax=b有解的充要条件是r(Ab)=r(A)。8．设是线性方程组

6、Ax=b的一个特解，是其导出组的基础解系，则线性方程组Ax=b的全部解可以表示为=　1．求线性方程组的通解.答案：通解为：x=k12．求齐次线性方程组的一个基础解系.答案：基础解系为v1=3．求非齐次线性方程组的通解答案：同解方程组为，通解为4求方程组的通解答案：化为同解方程组通解为5．已知线性方程组（1）求增广矩阵（Ab）的秩r（Ab）与系数矩阵A的秩r（A）；（2）判断线性方程组解的情况，若有解，则求解。答案：（1）r（Ab）=r（A）=4（2）有唯一解。x1=-1;x2=-1;x3=0;x4=1第

7、三次向量的线性关系填空题1．向量α=（1，3，5，7），β=（a,b,5,7），若α=β，则a=1,b=3.2．已知向量=（1，2，3），=（3，2，1），则3+2=（9，10，11），-=（-2，0，2）．3．设向量组线性无关，则向量组，+，++线性无关　．4．设向量线性无关，则线性无关。5．设向量线性无关，则向量线性相关．6.是3维向量组,则线性相关.7．零向量是线性相关的，非零向量α是线性无关的.线性关系部分证明题1　证明：如果向量组线性无关，则向量组亦线性无关．证明：设有一组数，使　　　　　　　

8、　成立，整理得　　　　　　由于线性无关，所以因为其系数行列式，所以方程组只有零解，即．向量组线性无关得证．2．设向量β可由向量α1，α2，…，αr线性表示，但不能由α1，α2，…，αr-1线性表示，问向量组α1，α2，…，αr-1，αr与向量组α1，α2，…，αr-1，β是否等价？为什么？答案：等价。因为β可由α1，α2，…，αr线性表示，所以有λ1，λ2，…，λr，使β=λ1α1+λ2α2+…+λrαr，λr≠0①又α1=α1，…，αr-1=αr-1，故向量组α1，α2，…，αr-1，β可由向量α1，

9、α2，…，αr线性表示。由式①有即α1，α2，…，αr也可由向量组α1，α2，…，αr-1，β线性表示，故两向量组等价。3．设α1，α2是某个齐次线性方程组的基础解系，问α1+α2，2α1－α2是否也可构成该方程组的基础解系？答案：α1+α2，2α1－α2显然是方程组的解。所以以下只证α1+α2，2α1－α2线性无关。设有一组数λ1，λ2，使得λ1（α1+α2，）+λ2（2α1－α2）=0，即（λ1+2λ2）α1+（λ1－λ2）α2=0，因α1，α2线性无关，故而所以λ1=λ2=0，则α1+α2，2α1

10、－α2线性无关，仍是基础解系。4．已知，判定此向量组是线性相关还是线性无关。答案：线性相关。5．设=（1，1，2）T，=（1，2，3）T，=（1，3，t）T请问当t为何值时，，，线性相关？并将用，线性表示．答案：当t=4时，，，线性相关。＝－＋２．.6,设线性无关，而线性相关，则能由线性表示，且表示法惟一。答案：因线性相关，故有不全为零，使要证可由线性表示，只要证明，假设k=0，则不全为零，且有故线性相关，矛盾，所以。设有个表示式两式相减得