西南大学网络作业中学代数研究.doc

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1、中学代数研究I、证明”与訓和是无理数。证(反证法)假如兀与扑和是-个有理数a,即则因为全体有理数成为一个域，对减法运算封闭，所以差a--仍是有理数。此与兀是无理数孑盾，所3以龙与丄的和是无理数。321、在AABC中Sc为角A,B,C所对的边，求证^+/?g+cC>-a+b+c3(提示:可用排序不等式证明)不妨设aa+bb+cc+aa^b+caA^bB+cC>bA+cB+aC,aA+bB+cC>cA+aB+bC^又aA+bB+cC=aA^bB+cC,三式相力II得,3(d4+bB+cC)n(

2、a+b+c)(A+B+C)=7r(d+b+c),即ciA+bB十cCa+b+c(提示：可用柯西不等式证明)证：待证不等式化为(一「+丄+—'―)x2(d+b+c)A9,根据柯西不等式，左端a+bb+cc+a+—1+£1+罟+£,・•・1+£+£+…+，…，它的极限为e不是有理数，故有丄•1•4^•.L••AT•理数集具有不完备性。—)[(d+b)+(“+c)+(c+Q)]n(l+1+1)2=9又",b,C各不相等，a+hb+cc+a因此等号不成立。原不等式得证。填空题1、在代数发展史屮，根据代数所研究的数学对象的不同，可将代数分为与O2、中国传统的中学代数体系，主要内容有：3、在中

3、学代数教学中，应提倡的一个基本原则是：在注意形式化的同时，加强代数知识的・4、布尔巴基学派认为数学有三种基本的结构:5、自然数公理系统直接地保证了的合理性。6、自然数有两种属性，一是属性，•是属性。7、有理数集是一个可数集，就是说它能与自然数集建立关系。8、任意两个不同的有理数Z间，均存在一个有理数，这说明有理数集具有O9、无理数有三种不同的定义方法：，10、复数的棣莫弗公式匾。填空答案1、古典代数，近世代数2、数和数系，方程，函数，不等式，数列3、直观理解4、代数结构，序结构，拓扑结构5、数学归纳法6、基数，序数7、一一对应&稠密性9、无穷小数说，康托的基本序列说，戴徳金分割说1

4、0>复数的棣莫弗公式为：(cos0+isin0)"=cosn0+isin/?01、请举例解释有理数集虽然是稠密的，但不具有完备性（或连续性）。答：一个数集是完备的是指，对丁任意该数集的序列，如果有极限存在，则该极限一定属丁该数集。但对有理数列1怎样科学的描述无理数幕3“。答：用有理数区间套人=0,3*/2=[3I4,3,5J厶二沙邛皿]…等來描述。2、证明任何一个有理数的平方都不等丁5?孙了定理：设加]，加2mn是12个两两互素的正整数，5，。2,an是任意给定的整数，那么一元同余式纽x=a}(modm})x=(72(mod/n2)x=an(modmn)必有一解，且解数为1。孙子定

5、理的解法原则或证明是通过先构造“甲因子构件”，然后凑出结果所耍求得的构件。这一原则在插值理论、算子理论屮都有体现。比如拉格朗tl插值理论就体现了这一原则。3、试用柯西不等式求平而上一点到一直线的距离公式3、试用柯西不等式求平面上点P(xo,yo)到直线Ax+By+c=0的距离公式。答：由柯西不等式，有(A?+B2)[(x-x0)2+(y-y0)2]>[A(x-x0)+B(y-y0)]2=[(Ax+By)-(Ax0+By0)]2因为+=—时宀矿〉o,故有，』(乂_如)2+(),_儿)2y/A2+B2证明题1、求(l+o"答；可用棣莫佛公式求解，(1+z)11=V^'(cos?+isi

6、n?)“=32a/2(cos—+isin—)=-32+32z44442、证2、证明(a2+b2)(c2+d2)>(ac+bd)2.并给岀几何意义。答:(a2+b2Jc2+d-}=a~c~+a~cl2+b2c2+b~d2={ac+bd^+{ad-be)，>(ac+bd)2儿何意义可用向量，也可用平面三角形余弦定理解释。3、数列％卫2卫3,…卫Z7为一给定的有限数列，试给出数列的通项公式。答：可用拉格朗日插值法易得（参见教材133页）。