资源描述：
《2016年12月西南大学网络与继续教育学院《中学代数研究》【0772】大作业答案》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、西南大学网络与继续教育学院课程考试试题卷类别：网教专业：数学与应用数学（数学教育）2016年12月课程名称【编号】：中学代数研究【0772】A卷大作业满分:100分注：归纳公理可以用来证明0是唯一不是后继数的自然数，因为令命题为“n二0或n为其它数的后继数”，那么满足归纳公设的条件。若将只考虑正整数，则公理屮的0要换成1,自然数要换成正整数。2.请给出实数的三种不同定义。（15分）解：⑴函数的变量说定义一般地，设在一个变化过程中有两个变量X和y,如果变量y随着X的变化而变化，那么就说X是自变量，丁是
2、因变量，也称y是X的函数。这种陈述性的定义，是函数的传统定义。它建卩在变量的基础上，强调了变化。而描述变化，正是函数最重要的特征。函数定义的变量说，是对函数的一个宏观的、整体的把握。（2）函数的对应说定义设/为非空实数集，如果存在一个对应规律对.4中每个元x按照对应规律存在尺中唯一的一个实数卩与之对应，则称对应规律/是定义在/上的函数，表为f：A—R这一定义建b在''集合”和"对应”这两个基本概念上，是函数的现代定义。在高中阶段基本上就用这种定义。目前，在中学数学课程标准中，函数定义在抽象的集合上，
3、把函数看作映射的特殊情形。由于映射是用对应来定义的，所以"对应说”与“映射说”其实是一回事。⑶函数的关系说定义设/是集合X与集合『的关系，即f^XxY。如果还满足&1』1上/,0],丿2）,则口=歹2,那么称/是集合X到集合y的函数。函数是一种特殊的关系。“关系说”是完全数学化的定义，也便于为计算机所接受，具有多方面的优越性。这种定义是函数的形式化定义。然而，关系说过于形式化，抽去了函数关系生动的直观特征，看不岀对应关系的形式，更没有解析式的表达，所以初学者不易掌握。3.试证不是一个有理数（15分）
4、1.请给出自然数（皮亚诺）公理。（15分）解：皮亚诺公理，也称皮亚诺公式，是数学家皮亚诺（皮阿罗）提出的关于自然数的五条公理系统。根据这五条公理可以建立起一阶算术系统，也称皮亚诺算术系统。皮亚诺的这五条公理用非形式化的方法叙述如下：I0是自然数；II每一个确定的自然数a,都有一个确定的后继数『，｛也是自然数（数a的后继数a'就是紧接在这个数后面的整数3+1）。例如，1'二2,2'二3等等。）可是仅有这两个公理述不够完整地描述自然数，因为满足这两条的有可能不是自然数系统。比如考虑由0,1构成的数字系统
5、，其屮1的后继为0。这不符合我们对于自然数系统的期望，因为它只包含有限个数。因此，我们要对自然数结构再做一下限制：ino不是任何自然数的后继数；但这里面的漏洞防不胜防，此时仍不能排除如下的反例：数字系统0,1,2,3,其中3的后继是3。看来，我们设置的公理述不够严密。我们还得再加一条。IV如果b、c的后继数都是自然数a,那么b二c；最后，为了排除一些自然数中不应存在的数（如0.3）,同时也为了满足一会儿制定运算规则的需要，我们加上最后一条公理。V设SCN,且满足2个条件（i）Oes；（ii）如果n^
6、S,那么neso则S是全体自然数的集合，即S二N。（这条公理也叫归纳公理，保证了数学归纳法的正确性）这样q人2也能被5整除仇脯獭氓4.试画出以下不等式链的几何解释。（15分）二维均值不等式的几何解释中学代数研处5.已知一数列的三项分别是4，°2，色，试给出该数列的通项表达式。（15分）解：由拉格朗日插值公式得，如“冷g+冬去器弐+色梯于即假设根号5是有理数，设根号5=p/q,其中，□涯正的目然数且互质.则由卩八2=5於烦1P人2可以被5整除,所以p也能被5整除（反证法可以证得：如果P不能被5整除，贝
7、協人2也不能被5整除得证）曲目穆）贝!J5qA2=pA2=25nA2因此/与9有公因子5・这与M互质相矛盾从而证明了根号5为无理数.2。（…八°）“调和平均数”W“几何平均数”三“算术平均数”三“均方根数”A如“严-缪一3）"（〃一丫一2）+。（-1）（-2）6•请给出数系（自然数、有理数、实数、复数）的教学建议。（25分）解：中学数系的扩充主要有三次：自然数一有理数一实数一复数，数系发展的动因很复杂,有的可能来自于数学内部，有的可能来自于数学外部。在数学中，对于数系扩充要按如下规则进行：在新的数集
8、中，原有的主要运算律仍成立，同时在新的数集中使得原来某种不可能问题变得可解。一、教学建议教学方法：教法主要采用问题驱动教学法。设置问题串的目的：通过设置问题串，让学生形成认知冲突；通过设置问题串，引领学牛追溯历史，提炼数系扩充的原则；通过设置问题串，帮助学牛合乎情理的建立新的认知结构，让数学理论自然诞生在学生的思想中，教师仅起到“助产士”的作用。教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。数学教学应根据具体的教学内容，注意使学生在获得间接经验的同时也能够有机会获
