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1、第一章傅里叶分析任课教师：王占新电话：132360613701§1.1一些常用函数注意:1.函数在时域和空域各代表什么物理对象 2.一维向二维扩展,各代表什么物理对象一.阶跃函数StepFunctionx01Step(x)1,x>01/2,x=00,x<0定义:Step(x)={代表：开关,无穷大半平面屏0x2§1.1常用函数(续)二.符号函数Signumx01Sgn(x)-11,x>00,x=0-1,x<0定义:Sgn(x)={图像代表“p”相移器、反相器与Step函数的关系:Sgn(x)=2Step(x)-13§1.1常用函数(续)三.矩形函数RectangleFunction定义xr
2、ect(x)01/2-1/21图像特点:rect(0)=1,矩形宽度=1，矩形面积=1,偶函数快门;单缝,矩孔,区域限定4x0ax0y5axx0,y0yab06§1.1常用函数(续)四、三角形函数TriangleFunction底宽:2
3、a
4、,面积:S=
5、a
6、底宽:2最大值：tri(0)=1曲线下面积:S=1xtri(x)01-111xa+x0-a+x0x0又写成：L(x)要关注它和矩形函数的关系7§1.1常用函数(续)五、sinc函数xsinc(x)01-111xa+x0-a+x0x0特点:最大值：sinc(0)=1；limsinc(x)=0x曲线下面积:S=1，偶函数0点位置:x
7、=n(n=1,2,3…)等间隔两个一级0点之间的主瓣宽度=28§1.1常用函数五.sinc函数(续)Sinc函数的重要性:数学上,sinc函数和rect函数互为傅里叶变换物理上,单一矩形脉冲rect(t)的频谱是sinc函数;单缝的夫琅和费衍射花样是sinc函数xsinc2(x)01-11sinc(x)sinc2(0)=1,S=1与sinc(x)相比,曲线形状不同,但曲线下面积相同,为什么?二维sinc函数:sinc(x)sinc(y)sin2(px)(px)2附:sinc2函数sinc2(x)=[sinc(x)]29§1.1常用函数(续)六、高斯函数GaussianFunctionGa
8、us(x)=exp(-px2)Gaus(0)=1S=1是非常平滑的函数,即各阶导数均连续.Gaus(x)0x二维情形:Gaus(x)Gaus(y)=exp[-p(x2+y2)]可代表单模激光束的光强分布10§1.1常用函数(续)七、圆域函数CircularFunction定义:circ(r)=circ函数是不可分离变量的二元函数描述无穷大不透明屏上半径为1的圆孔的透过率1xy011a012§0-1常用函数(续)八、复指数函数ComplexexponentialfunctionAexp(jq)=Acosq+jAsinqq：振子的位相角对于简谐振动，q=2pnt推广到二维：Aexp[j2p(f
9、xx+fyy)]A0qw=2pn13课堂练习1.1已知函数U(x)=Aexp(j2pf0x)求下列函数，并作出函数的图形(1)
10、U(x)
11、2(2)U(x)+U*(x)(3)
12、U(x)+U*(x)
13、21.2已知函数f(x)=rect(x+2)+rect(x-2)求下列函数，并作出函数的图形.(1)f(x-1)(2)f(x)sgn(x)14课堂练习1.3画出下列函数的图形(1)(2)(3)(4)15§1.2脉冲函数d-Function一、定义fn(x)可以是Nrect(Nx),Nsinc(Nx),NGaus(Nx),二维圆域函数等等.物理系统已无法分辨更窄的函数定义1.定义2.基于函数系列的极
14、限:练习:画出rect(x),10rect(10x),sinc(x),10sinc(10x)的示意图.可描述:单位质量质点的密度,单位电量点电荷的电荷密度,单位光通量点光源的发光度,单位能量无限窄电脉冲的瞬时功率等等.16§1.2脉冲函数d-Function一、定义(续)0xd(x)110xd(x,y)yd-函数的图示:定义3:设任意函数f(x)在x=0点连续,则f(x)称为检验函数.17§1.2d-函数二、性质1.筛选性质sifting(由定义3直接可证)设f(x)在x0点连续,则证明思路:二者对检验函数在积分中的作用相同.(练习)推论:d(x)是偶函数2.缩放性质scaling与普通函
15、数缩放性质的区别:普通函数:因子a不影响函数的高度,但影响其宽度d-函数:因子a不影响函数的宽度,但影响其高度通过此积分,可从f(x)中筛选出单一的f(x0)值.18§1.2d-函数二、性质(续)3.乘积性质设f(x)在x0点连续,则:f(x)d(x-x0)=f(x0)d(x-x0)任意函数与d-函数的乘积,是幅度变化了的d-函数练习：计算sinc(x)d(x)2.sinc(x)d(x-0.5)3.sinc(x)d(x-
