《傅里叶级数》ppt课件

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1、第十五章傅里叶级数二、以为周期的函数的傅里叶级数三、收敛定理§15.1傅里叶级数一、三角级数正交函数系§15.1傅里叶级数一、三角函数正交函数系在科学实验与工程技术的某些现象中，常会碰到一种周期运动，最简所表达的周期运动也称为简谐运动，其中为振幅，为初相角，较为复杂的周期运动，则常是几个简谐振动的叠加单的周期运动，可用正弦函数来描写。为角频率，于是简谐振动的周期是1.三角级数三角级数定理15.1若级数(4)收敛,则级数(1)在整个数轴上绝对收敛且一致收敛.2.三角函数系的正交性构成三角级数的基本要素:(5)性质

2、:(7)(8)任一个函数平方在上的积分为不为零.正交具有正交性的三角函数系是正交函数系。二、以为周期的函数的傅里叶级数若在整个数轴上且等式右边级数一致收敛则定理15.2(9)(10b)(10a)证:由定理的条件,f(x)在[-π,π]上连续且可积,对(9)式逐项积分,得以coskx乘(9)式两边,得同理可得:定理15.2若在整个数轴上(9)且右边的级数一致收敛,则有以下关系式:(10a)(10b)若是以为周期且在可积的函数,则称按上述公式确定的和为的傅里叶系数,相应的三角级数称为的傅里叶级数,记作(11)三、收

3、敛定理１.按段光滑函数:若函数在上至多有有限个第一类间断点，且仅在上有限个点处不连续且为第一类间断点,则称是上的按段光滑函数。定义：若的导函数在上连续，则称在上光滑。按段光滑函数的性质:设函数在区间是按段光滑，则２．收敛定理:推论：注:(1)收敛定理只是对周期函数而言的；(2)若f(x)为以2π的周期函数，则有(3)具体讨论函数的傅里叶展开式时，常只给出函数在一个周期的表达式，此时要把其视为在整个数轴上的周期函数(4)当只给出一个周期的表达式时，傅里叶级数在两端点的值可用上述公式求之.例1：设求的傅里叶级数展开

4、式.解：由于显然是按段光滑的,故由收敛定理，它可以展开成傅里叶级数。所以在开区间上于是，在例2把下列函数展开成傅里叶级数解：及其周期延拓的图形如图所示，显然是按段光滑的，因此它可以展开成傅里叶级数。所以所以因此由或都可推得(1)(2)