《傅里叶级数 》ppt课件

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1、非正弦周期函数:矩形波分解成不同频率正弦波逐个叠加7.5傅里叶级数设想是把一个复杂的周期函数f(t)表示为即7.5.1三角函数系称为三角级数各类正弦函数的迭加,三角函数系其中任何两个不同的函数的乘积在区间即在上的正交性是指:即上的积分不为0.三角函数系中每个函数自身的平方在7.5.2周期为的函数的傅里叶级数展开问题:f(x)若能展开成三角级数,是什么?两边积分利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性利用三角函数系的正交性由系数公式所确定的三角级数傅里叶系数公式:称为函数f(x)(诱导出)的傅里叶级数,f(x)记为问题:当f(x)满足什么条件时,它的傅里

2、叶级数收敛?收敛定理7.16(收敛定理　狄利克雷充分条件)设f(x)是以为周期的周期函数.如果它满足条件:在一个周期内连续或只有有限个第一类间断点,并且至多只有有限个极值点,则f(x)的傅里叶级数收敛,并且(1)当x是f(x)的连续点时,级数收敛于f(x);(2)当x是f(x)的间断点时,收敛于收敛定理等价于：如果设傅里叶级数的和函数为S(x)，即则设函数f(x)以为周期,且其傅氏级数在处收敛于().所以,特别地,当f(x)为奇函数时,它的傅里叶系数为当f(x)为偶函数时,它的傅里叶系数为f(x)的傅里叶级数为称为正弦级数;称为余弦级数.f(x)的傅里叶级数

3、为周期函数的傅里叶级数展开步骤:(由图形写出收敛域;求出第一类间断点)(2)求出傅里叶系数;(3)写出傅里叶级数,并注明它在何处收敛于f(x).画出f(x)的图形,并验证是否满足狄利克雷收敛定理条件;解计算傅里叶系数例1函数f(x)以为周期,且将f(x)展开为傅里叶级数.f(x)的图象故f(x)的傅里叶级数为由于f(x)满足狄利克雷充分条件,由收敛定理收敛于(2)将F(x)展开为傅里叶级数;作法收敛定理的条件,也可展开成傅里叶级数.(周期延拓);级数收敛于7.5.3函数在上的傅里叶级数如果f(x)只在区间上有定义,并且满足得到一定义在这样就得到f(x)展开式

4、;解例2将函数展开为傅里叶级数.拓广的周期函数的傅里叶级数展开式在因函数在区间上满足收敛定理的条件,收敛于f(x).又f(x)是偶函数f(x)是偶函数已知函数的傅氏展开式为利用傅氏展开式也可求数项级数的和设收敛定理的条件,我们首先将函数f(x)的定义延7.5.4函数在上的正弦级数或余弦级数如果f(x)只在区间上有定义,并且满足拓到区间上,得到一定义在上的函数F(x),使它在内成为奇函数(偶函数),按这种方式拓广函数定义域的过程称为奇延拓(偶延拓).然后将F(x)展开成傅里叶级数,这个级数必定是正弦级数(余弦级数).(1)奇延拓则f(x)的傅里叶级数:再限制x

5、在区间上,就得到f(x)展开式的正弦级数(余弦级数)展开式.(2)偶延拓则f(x)的傅里叶级数:解(1)展开成正弦级数.正弦级数和余弦级数.例3将函数分别展开成对f(x)进行奇延拓,(2)展开成余弦级数.对f(x)进行偶延拓,先作变量代换7.5.5周期为2l的函数的傅里叶级数条件,若周期为2l的周期函数f(x)满足收敛定理的展开成傅里叶级数的方法是:将函数变换到再利用周期为的周期函数的傅里叶级数展开法,最后回到变量x,就得到f(x)的傅里叶展开式则有(1)如果f(x)为奇函数,其中,傅里叶系数为则有(2)如果f(x)为偶函数,其中系数解例4设f(x)是周期为

6、4的周期函数,它在的表达式为将其展开成傅里叶级数.和函数图形且收敛定理的条件.